Question

4．已知拋物線y=a（x²-cx-2c²）（a＞0）交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C
（1）取A（-1，0），則點B坐標為（2，0）；
（2）若A（-1，0），a=1，點P在第一象限的拋物線，以P為圓心$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$為半徑的圓恰好與AC相切，求P點坐標；
（3）如圖，點R（0，n）在y軸負半軸上，直線RB交拋物線于另一點D，直線RA交拋物線于E，若DR=DB，EF⊥y軸于F，求$\frac{EF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）將A的坐標代入，求出c即可得出點B的坐標，把a，c代入點C的坐標即可；
（2）如圖1中，作CE⊥AC交x軸于E，在x軸上取一點F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．當FG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$時，點P到直線AC的距離也是$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，此時以P為圓心$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$為半徑的圓恰好與AC相切，想辦法求出直線PF的解析式，利用方程組求交點P的值坐標即可．
（3）利用DR=DB得出點D的坐標，而點D在拋物線上，即可得出R的坐標，進而求出直線AR的解析式即可得出點E的坐標，求出EF、AB即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），
∴A（-c，0），B（2c，0），C（0，-2ac²），
當A（-1，0）時，∴-c=-1，
∴c=1，
∴2c=2，
∴B（2，0），
故答案為（2，0）．

（2）∵a=1，c=1
∴B（2，0），C（0，-2），
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2
如圖1中，作CE⊥AC交x軸于E，在x軸上取一點F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．

當FG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$時，點P到直線AC的距離也是$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，此時以P為圓心$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$為半徑的圓恰好與AC相切，
∵∠OAC=∠CAE，∠AOC=∠ACE=90°，
∴△AOC∽△ACE，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{OC}{EC}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{AE}$=$\frac{2}{EC}$，
∴AE=5，EC=2$\sqrt{5}$，
∵EC∥FG，
∴$\frac{EC}{FG}$=$\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{AF}$，
∴AF=6，
∴F（5，0），
∵直線AC的解析式為y=-2x-2，
設直線PF的解析式為y=-2x+b，把（5，0）代入得b=10，
∴直線PF的解析式為y=-2x+10，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+10}\\{y={x}^{2}-x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=18}\end{array}\right.$，
∵點P在第一象限，
∴P（3，4）．

（3）如圖2中，

∵DR=DB，R（0，n），B（2c，0），
∴D（c，$\frac{1}{2}$n），
∵點D在拋物線y=a（x²-cx-2c²）上，
∴a（c²-c²-2c²）=$\frac{1}{2}$n，
∴n=-4ac²，
∴R（0，-4ac²），
∵A（-c，0），
∴直線AR的解析式為y=-4acx-4ac²①，
∵點E在拋物線y=a（x+c）（x-2c）②上，
聯(lián)立①②得，E（-2c，-12ac²），
∴EF=2c，AB=3c，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質、勾股定理、二元二次方程組等知識，解本題的關鍵是把拋物線的解析式y(tǒng)=a（x²-cx-2c²）=a（x+c）（x-2c），利用了方程的思想求解問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．