Question

19．如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成6部分，部分①是整體面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推．
（1）圖中陰影部分的面積是$\frac{1}{32}$；
（2）寫出$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$的結(jié)果；
（3）計算$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$．

Answer 1

分析 （1）陰影部分的面積等于部分⑤的面積；
（2）用整個正方形的面積減去陰影部分的面積即可確定答案；
（3）將原式變形為（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$）×2×$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$）×$\frac{1}{2}$，利用（2）中結(jié)論求解可得．

解答 解：（1）∵部分①是整體面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，…，
∴圖中陰影部分的面積是部分④的一半，即$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{32}$，
故答案為：$\frac{1}{32}$；

（2）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$；

（3）$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$=（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{7}}$）×2×$\frac{1}{2}$
=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{6}}$）×$\frac{1}{2}$
=（1-$\frac{1}{{2}^{6}}$）×$\frac{1}{2}$
=$\frac{63}{64}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{63}{128}$．

點(diǎn)評 本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形面積間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)圖形變化的規(guī)律．