Question

14．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＜0）圖象上一點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交函數(shù)y=$\frac{k^2}{x}$（x＞0，k＞0的常數(shù)）的圖象于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′且點(diǎn)O、A′、C′在同一條直線上，連接CC′，交x軸于點(diǎn)B，連接AB，AA′，A′C′，若△ABC的面積等于6，則由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積等于10．

Answer 1

分析 過A作AD⊥x軸于D，連接OA′，設(shè)A（a，$\frac{1}{a}$），C（b，$\frac{{k}^{2}}$），由△OAD∽△BCO，得到$\frac{{S}_{△ADO}}{{S}_{△BCO}}$=（$\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義得到S_△ADO=$\frac{1}{2}$，S_△BOC=$\frac{{k}^{2}}{2}$，求出k²=（$\frac{a}$）²，得到k=-$\frac{a}$，根據(jù)S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{a}$）•b+$\frac{{k}^{2}}{2}$=6，列出關(guān)于k的方程k²+k-12=0，求得k=3，由于點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，得到OA′，OC′在同一條直線上，于是得到由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積=S_△OBC+S_△OBC′+S_△OAA′=10．

解答 解：過A作AD⊥x軸于D，連接OA′，
∵點(diǎn)A是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＜0）圖象上一點(diǎn)，
∴設(shè)A（a，$\frac{1}{a}$），
∵點(diǎn)C在函數(shù)y=$\frac{{k}^{2}}{x}$（x＞0，k是不等于0的常數(shù)）的圖象上，
∴設(shè)C（b，$\frac{{k}^{2}}$），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△BCO，
∴$\frac{{S}_{△ADO}}{{S}_{△BCO}}$=（$\frac{OD}{OB}$）²=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，
∵S_△ADO=$\frac{1}{2}$，S_△BOC=$\frac{{k}^{2}}{2}$，
∴k²=（$\frac{a}$）²，
∵S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{a}$）•b+$\frac{{k}^{2}}{2}$=6，
∴k²-$\frac{a}$=12，
①當(dāng)k＞0時(shí)，
k=-$\frac{a}$，
∴k²+k-12=0，
解得：k=3，k=-4（不合題意舍去），
②當(dāng)k＜0時(shí)，
k=$\frac{a}$，
∴k²+k-12=0，
解得：k=-3，k=4（不合題意舍去），
∴k²=9
∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，
∴OA′，OC′在同一條直線上，
∴S_△OBC′=S_△OBC=$\frac{{k}^{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∵S_△OAA′=2S_△OAD=1，
∴由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積=S_△OBC+S_△OBC′+S_△OAA′=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確的理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．