Question

3．某中學(xué)教學(xué)樓的后面靠近一座山坡，坡面下是一塊草地，如圖所示，BC∥AD，斜坡AB=160米，坡度i=$\sqrt{3}$：1，為防止山體滑坡，保障學(xué)生安全，學(xué)校決定不僅加固教學(xué)樓，還對山坡進(jìn)行改造，當(dāng)坡角不超過45°時(shí)可保證山體不滑坡，改造時(shí)保持坡腳A不動，從坡頂B沿BC進(jìn)到E處，問BE至少是多少米？（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，由BC∥AD，可得四邊形EFHB是矩形，即可得BE=FH，EF=BH，然后分別在Rt△ABH中與Rt△AEF中，利用三角函數(shù)的知識求得AH，AF，EF的長，繼而求得答案．

解答 解：過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，
∵BC∥AD，
∴四邊形EFHB是矩形，
∴EF=BH，BE=FH，
∵斜坡AB=40米，坡度i=$\sqrt{3}$：1，
∴tan∠BAH=$\sqrt{3}$，
∴∠BAH=60°，
在Rt△ABH中，BH=AB•sin∠BAH=40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20$\sqrt{3}$（米），AH=AB•cos∠BAH=40×$\frac{1}{2}$=20（米），
∴BH=20$\sqrt{3}$米，
∴EF=20$\sqrt{3}$米，
∵∠EAF=45°，
∴在Rt△AEF中，AF=$\frac{EF}{tan∠EAF}$=$\frac{20\sqrt{3}}{1}$=20$\sqrt{3}$（米），
∴BE=FH=AF-AH=20$\sqrt{3}$-20（米）．
∴BE至少是（20$\sqrt{3}$-20）米．

點(diǎn)評 此題考查了坡度坡角問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意能借助于坡度坡角的定義構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．