16、解：(1)設(shè)P(x₀,y₀)(x₀>a,y₀>0)，又有點(diǎn)

A(－a,0),B(a,0).

…………………………(7分)

∴CD垂直于x軸.若CD過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，則

故可使CD過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，此時(shí)C₂的離心率為.…………(12分)

15、解：設(shè)初中x個(gè)班，高中y 個(gè)班，則……………(4分)

設(shè)年利潤為s，則……(6分)

作出(1)、(2)表示的平面區(qū)域，如圖，易知當(dāng)直線1.2x+2y=s過點(diǎn)A時(shí)，s有最大值.

　 由解得A(18，12).……(10分)

(萬元).

即學(xué)�？梢�(guī)劃初中18個(gè)班，高中12個(gè)班，

可獲最大年利潤為45.6萬元.……(12分)

14、(1)解：作出橢圓的左準(zhǔn)線l，作MN⊥l交l于點(diǎn)N.

　 設(shè)，橢圓的離心率是e，橢圓的半焦距是c.

根據(jù)橢圓的定義得：，所以

，同理可得：

所以

由||MF₁|·||MF₂|的最小值為得：

　 ，解得…………4分

[注：若學(xué)生沒有證明|MF₁|=

而直接使用此結(jié)論，則(Ⅰ)中扣去1分]

(Ⅱ)解：依題意得雙曲線C₂的離心率為2，

設(shè)C₂的方程是假設(shè)存在適合題意的常

數(shù)，①先來考查特殊情形下的值：

PA⊥x軸時(shí)，將x=2c代入雙曲線方程，解得|y|=3c，

因?yàn)閨AF₁|=3c，所以△PAF₁是等腰直角三角形，

∠PAF₁=90°，∠PF₁A=45°，此時(shí)=2………7分

②以下證明當(dāng)PA與x軸不垂直時(shí)，∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.

設(shè)，由于點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，所以直線PF₁斜率存在，；

因?yàn)镻A與x軸不垂直，所以直線PA斜率也存在，.

因?yàn)?sub>所以，將其代入上式并化簡得：

因?yàn)椤螾AF₁+∠PAx=180°，

所以即tan2∠PF₁A=tg∠PAF₁.………………12分

因?yàn)椤?sub>∠所以∠PAF₁、

2∠PF₁A所以∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.

綜合①、②得：存在常數(shù)，使得對位于雙曲線C₂在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)p，

∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立.……………………14分

[注：②中如果學(xué)生認(rèn)為∠PAF₁、2∠PF₁A本題不扣分]

13、(I)由題意，設(shè)()，由余弦定理, 得

　　　 ．

又·，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，· 取最大值，

此時(shí)取最小值，令，解得，，∴，故所求的軌跡方程為.

(II)設(shè)，，則由，可得，

故，∵、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上，故且，消去可得，解得，

又，∴，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

11、當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)有不等式　　(＊)先證左不等式，去分母有理化

　　 　　得證. 再證右不等式，去分母有理化　 　　

綜合以上可知，不等式(＊)獲證.　 故存在常數(shù)滿足題意．

12、(Ⅰ)法一: ，

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 法二：同上得

　 　 (Ⅱ)

20、已知函數(shù)

(1)設(shè)處取得極值，其中求證：；

(2)設(shè)點(diǎn)A(，求證：線段AB的中點(diǎn)C在曲線

19、解關(guān)于x的不等式

18、已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為3x－5y=0.

(Ⅰ)求橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的離心率；

(Ⅱ)在第一象限內(nèi)取雙曲線C₂上一點(diǎn)P，連結(jié)AP交橢圓C₁于點(diǎn)M，連結(jié)PB并延長交橢圓C₁于點(diǎn)N，若. 求證：

17、 　 如圖，過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，直線過線段AB的中點(diǎn)M，同時(shí)橢圓上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)F關(guān)于直線l對稱，求直線l和橢圓的方程.