1．下面說(shuō)法正確的是 （ ）
A．離散型隨機(jī)變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值
B．離散型隨機(jī)變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平
C．離散型隨機(jī)變量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平
D．離散型隨機(jī)變量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值
（文）要完成下列2項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)哪成鐓^(qū)125戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，95戶
低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某中學(xué)高一年級(jí)的12名體
育特長(zhǎng)生中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況。應(yīng)采用的抽樣方法是 （ ）
A．①用隨機(jī)抽樣法 ②用系統(tǒng)抽樣法 B．①用分層抽樣法 ②用隨機(jī)抽樣法
C．①用系統(tǒng)抽樣法 ②用分層抽樣法 D．①、②都用分層抽樣法
2．同時(shí)拋擲4枚均勻的硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望是 （ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
3．書架上有不同的中文書9本，不同的英文書7本，不同的日文書5本.從這個(gè)書架上任意
抽取兩本書，這兩本書不是同一種文字的概率是
4．甲袋中裝有3個(gè)白球5個(gè)黑球，乙袋中裝有4個(gè)白球6個(gè)黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙袋中，充分摻混后再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一個(gè)球放回甲袋，則甲袋中白球沒(méi)有減少的概率為（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
先計(jì)算白球減少的概率，從甲袋中取出白球概率為
，再?gòu)囊掖腥〕龊谇蚋怕蕿?sub>
所求概率為1-
5．袋中有一些大小相同的小球，其中號(hào)數(shù)為1的小球1個(gè)，號(hào)數(shù)為2的小球2個(gè)，號(hào)數(shù)為3的小球3個(gè)，……，號(hào)數(shù)為n的小球n個(gè)，從袋中取一球，其號(hào)數(shù)記為隨機(jī)變量ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ= . 
6．從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球
（至少一粒），則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率 （ ）
A．小 B．大 C．相等 D．大小不能確定
5．甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，其命中率分別是0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是甲射中的概率是 （ ）
A．0.6 B．
C．
D．
6．拋擲兩個(gè)骰子，當(dāng)至少有一個(gè)的點(diǎn)數(shù)的3的倍數(shù)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，設(shè)在50次試驗(yàn)中成功的次數(shù)為
，則E=
，D=
（精確到0.01）27.78,12.35
1．（維坊3月）甲、乙兩人投籃，命中率分別為0.4和0.6，每人各投兩次.
求下列事件的概率：
（Ⅰ）兩人都投進(jìn)兩球；
（Ⅱ）兩人至少投進(jìn)三個(gè)球.
1．P（甲投進(jìn)兩球）=
，……………………………2分
P（乙投進(jìn)兩球）=
………………………………………………4分
P（兩人都投進(jìn)兩球）=
………………………………………6分
（Ⅱ）P（甲投進(jìn)一球）=
P（乙投進(jìn)一球）=……………………………………………8分
P（甲投進(jìn)兩球乙投進(jìn)一球）=
P（甲投進(jìn)一球乙投進(jìn)兩球）=
∴P（兩人至少投進(jìn)三個(gè)球）=
……………11分
答：兩人都投進(jìn)兩球的概率是0.0576，兩人至少投進(jìn)3個(gè)球的概率是0.3072.…12分
2．（開封一）已知：有6個(gè)房間安排4個(gè)旅游者住，每人可以進(jìn)住任一房間，且進(jìn)住房間是等可能的，試求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4個(gè)房間各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4個(gè)房間各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某個(gè)房間有2人。
2．由于每人可進(jìn)住任1房間，進(jìn)住哪間房是等可能的，每人都有6種等可能的方法，
根據(jù)乘法原理，4人進(jìn)住6個(gè)房間共有64種方法 ……3分
（Ⅰ）指定的4個(gè)房間各有1人，有
種方法，
……6分
（Ⅱ）從6間中選出4間有
種方法，4個(gè)人每人去1間有種方法，
……9分
（Ⅲ）從4人中選2個(gè)人去指定的某個(gè)房間，共有
種選法，余下2人每人都可去5個(gè)房間中的任1間,因而有52種種方法。
……12分
3．（大港）如圖：用A、B、C、D四類不同的元件連接成系統(tǒng)N，當(dāng)元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或當(dāng)元件A正常工作且元件D正常工作時(shí)，系統(tǒng)N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次為
（Ⅰ）求元件A不正常工作的概率；
（Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率；
（Ⅲ）求系統(tǒng)N正常工作的概率.
3．解：（Ⅰ）元件A正常工作的概 率P（A）=
，它不正常工作的概率
（2分）=
（3分）
（Ⅱ）元件A、B、C都正常工作的概率P(A?B?C)=P（A）P（B）P（C）（5分）
（Ⅲ）系統(tǒng)N正常工作可分為A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作兩種情況，前者概率
，（7分）后者的概率為
（10分）
，
所以系統(tǒng)N正常工作的概率是
4．（山西實(shí)驗(yàn)）甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為
和
，求：
①恰有一個(gè)人譯出密碼的概率；
②至多一個(gè)人譯出密碼的概率；
解：①
……5分 ②
……10分
5．（山西實(shí)驗(yàn)）設(shè)在一袋子內(nèi)裝有5只白球，5只黑球，從這袋子內(nèi)任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在這5次取球中（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)學(xué)）
①取得白球3次的概率；
②至少有1次取得白球的概率
解：記“取球一次得白球”為事件A，“取球一次得黑球”為事件B.
①
…6分
②
6．（山西實(shí)驗(yàn)）為了測(cè)試甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員投定位球的水平，在罰球線上讓他們各投籃10次，甲投中7次，乙投中6次，如果讓甲、乙依照各自的水平再投籃3次，求：
①甲運(yùn)動(dòng)員恰好投中2次的概率是什么？
②兩名運(yùn)動(dòng)員都恰好投中2次的概率是多少？（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)學(xué)）
解：設(shè)事件A：甲運(yùn)動(dòng)員投籃1次，投中 . 事件B：乙運(yùn)動(dòng)員投籃1次，投中 .
∴P(A)=0.7 , P(B)=0.6 ①
…………6分
②
…
7．（南京）一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球．
（Ⅰ）從中摸出兩個(gè)球，求兩球恰好顏色不同的概率；
（Ⅱ）從中摸出一個(gè)球，放回后再摸出一個(gè)球，求兩球恰好顏色不同的概率．
7．Ⅰ）記“摸出兩個(gè)球，兩球恰好顏色不同”為A，
摸出兩個(gè)球共有方法
種， 其中，兩球一白一黑有
種. …………4分
.
………………………………6分
（Ⅱ）法一：記摸出一球，放回后再摸出一個(gè)球 “兩球恰好顏色不同”為B，
摸出一球得白球的概率為
，摸出一球得黑球的概率為
， ……8分
“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， ……………10分
.
……………………………12分
法二：有放回地摸兩次，互相獨(dú)立. 摸一次得白球的概率為
,……10分
“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為 
………12分
8．在某次考試中，甲、乙、丙三人合格（互不影響）的概率分別是
，
，，考試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾人合格的情況？
解：按以下四種情況計(jì)算概率,概率最大的就是最容易出現(xiàn)的情況.
⑴三人都合格的概率
………………………………………………2分
⑵三人都不合格的概率為
……………………… 4分
⑶恰有兩人合格的概率
…………………………7分
⑷恰有一人合格的概率
………………………………… 10分
由此可知，最容易出現(xiàn)恰有１人合格的情況……………………………………………12分
9．（洛陽(yáng)一中）一個(gè)電路中有三個(gè)電子元件，它們接通的概率都是m（0＜m＜1
如圖，有如下三
種聯(lián)接方法：
①
②
③
（1）分別求出這三種電路各自接通的概率；
（2）試分析這三種電路哪種性能最優(yōu)，并證明你的結(jié)論.
9．三種電路各自接通分別記為事件A1、A2、A3，則P（A1）=m3…………3分
P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3………6分 P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3……9分
（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m） ∵0＜m＜1 ∴P（A2）＞P（A1）………10分
P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0 ∴P（A2）＞P（A3）…………11分
三個(gè)電子元件并聯(lián)接通的概率最大，故性能最優(yōu)………………12分
10．口袋里放有12個(gè)大小完全一樣的球，其中3個(gè)紅色的，4個(gè)白色的，5個(gè)蘭色的，在袋里取出4個(gè)球時(shí)，求
（1） 取出的球的顏色至少是兩種的概率；
（2） 取出的球的顏色是三種的概率
11．同時(shí)拋擲15枚均勻的硬幣一次
(1)試求至多有1枚正面向上的概率；
(2)試問(wèn)出現(xiàn)正面向上為奇數(shù)枚的概率與出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚的概率是否相等?請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：（1）記“拋擲1枚硬幣1次出現(xiàn)正面向上”為事件A，P（A）=
，拋擲15枚硬幣1次相當(dāng)于作15次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)幾次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生K次的概率公式，記至多有一枚正面向上的概率為P1
則P1= P15（0）+ P15（1）=
+
=
……………（6分）
（2）記正面向上為奇數(shù)枚的概率為P2，則有
P2= P15（1）+ P15（3）+…+ P15（15）=+
+…+
=
+…+
)?
………………………（10分）
又“出現(xiàn)正面向上為奇數(shù)枚”的事件與“出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚” 的事件是對(duì)立事件，記“出現(xiàn)正面向上為偶數(shù)枚” 的事件的概率為P3
P3=1?
=
相等
12．（山東實(shí)驗(yàn)）有一批種子，每粒發(fā)芽的概率為，播下5粒種子，計(jì)算：
（Ⅰ）其中恰好有4粒發(fā)芽的概率；
（Ⅱ）其中至少有4粒發(fā)芽的概率；
（Ⅲ）其中恰好有3粒沒(méi)發(fā)芽的概率.
（以上各問(wèn)結(jié)果均用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
13．（蘇錫常鎮(zhèn)一）某種電路開關(guān)閉合后，會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動(dòng)，已知開關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是.從開關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率是；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是
，出現(xiàn)綠燈的概率是
.問(wèn)：
（Ⅰ）第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是多少？
（Ⅱ）三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率是多少？
13．解（Ⅰ）如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈的概率是
；如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈的概率為
.………4分 綜上，第二次出現(xiàn)紅燈的概率為+
.……5分
（Ⅱ）由題意，三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的情況共有如下三種方式：
①當(dāng)出現(xiàn)綠、綠、紅時(shí)的概率為
；②當(dāng)出現(xiàn)綠、紅、綠時(shí)的概率為
；…9分
③當(dāng)出現(xiàn)紅、綠、綠時(shí)的概率為
；…………………………………………11分
所以三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率為++=
…12分
14．（蘇州）沿某大街在甲、乙、丙三個(gè)地方設(shè)有紅、綠燈交通信號(hào)，汽車在甲、乙、丙三個(gè)地方通過(guò)（即通過(guò)綠燈）的概率分別為
，
，
，對(duì)于該大街上行駛的汽車，求：
（Ⅰ）在三個(gè)地方都不停車的概率；
（Ⅱ）在三個(gè)地方都停車的概率；
（Ⅲ）只在一個(gè)地方停車的概率．
14．7、解（1）
；-
（2）
；分
(3)
-------
15．一盒中裝有20個(gè)大小相同的彈子球，其中紅球10個(gè)，白球6個(gè)，黃球 4個(gè)，一小孩隨手拿出4個(gè)，求至少有3個(gè)紅球的概率
15．解：恰有3個(gè)紅球的概率P1= 
……4′有4個(gè)紅球的概率P2=
……8′
至少有3個(gè)紅球的概率P=P1+P2=
…………12′
16．（濟(jì)寧）有A、B兩個(gè)箱子，A箱中有6張相同的卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；B箱中有7張相同的卡片，其中四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，現(xiàn)從A箱中任取1張，從B箱中任取2張，共3張卡片。
求：（Ⅰ）3張卡片都寫有0的概率；（Ⅱ）3張卡片中數(shù)字之積為0的概率。
16．Ⅰ）
（Ⅱ）
17．（宿遷）某產(chǎn)品檢驗(yàn)員檢查每一件產(chǎn)品時(shí)，將正品錯(cuò)誤地鑒定為次品概率為0.1，將次品錯(cuò)誤地鑒定為正品的概率為0.2，如果這位檢驗(yàn)員要鑒定4件產(chǎn)品，這4件產(chǎn)品中3件是正品，1件是次品，試求檢驗(yàn)員鑒定成正品，次品各2件的概率。
17．將3件正品，1件次品鑒定為2件正品，2件次品有兩種可能：
（1）將原1件次品仍鑒定為次品，原3件正品中有1件錯(cuò)誤地鑒定為次品，這時(shí)的概率為
。
（2）將原1件次品鑒定為正品，再將3件正品中的2件錯(cuò)誤地鑒定為次品，這時(shí)的概率為
。
于是所求的概率
18．（揚(yáng)州）（1）如果獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的靜止目標(biāo)3次，求至少有一次命中的概率；
（2）如果獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的動(dòng)物，假如第一次未命中，則進(jìn)行第二次射擊，但由于槍聲驚動(dòng)動(dòng)物使動(dòng)物逃跑從而使第二次射擊時(shí)動(dòng)物離獵人的距離變?yōu)?50米，假如第二次仍未命中，則必須進(jìn)行第三次射擊，而第三次射擊時(shí)動(dòng)物離獵人的距離為200米。假如擊中的概率與距離成反比，。求獵人最多射擊三次命中動(dòng)物的概率。
（1）記事件“獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的靜止目標(biāo)3次，至少有一次命中”為A事件，
則P(A)=1-P(
)=1-0.4×0.4×0.4=0.936.
（2）記事件“第
次擊中動(dòng)物”為事件
（ =1,2,3），記事件“最多射擊3次而擊中動(dòng)物”為事件B.
由條件P(B1)=0.6, P(B1)=
=0.4, P(B1)=
=0.3,
∵
,且是相互獨(dú)立事件,又
、
、
是互斥事件，
∴
=0.832.
18．（鎮(zhèn)江）某班數(shù)學(xué)興趣小組有男生和女生各３名，現(xiàn)從中任選２名學(xué)生去參加校數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求：
（I）恰有一名參賽學(xué)生是男生的概率；
（II）至少有一名參賽學(xué)生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名參賽學(xué)生是男生的概率。
18．（17）基本事件的種數(shù)為
=15種 ）
（Ⅰ）恰有一名參賽學(xué)生是男生的基本事件有
=9種 這一事件的概率P1=
=0.6（5分）
（Ⅱ）至少有一名參賽學(xué)生是男生這一事件是由兩類事件構(gòu)成的，即恰有一名參賽學(xué)生是男生和兩名參賽學(xué)生都是男生所求事件的概率P2=
……（9分）
（Ⅲ）至多有一名參賽學(xué)生是男生這一事件也是由兩類事件構(gòu)成的，即參賽學(xué)生沒(méi)有男生和恰有一名參賽學(xué)生是男生所求事件的概率P3=
19．（南京師大附中）排球比賽的規(guī)則是5盤3勝制，A、B兩隊(duì)每盤比賽獲勝的概率都相等且分別為和
.
（Ⅰ）前2盤中B隊(duì)以2:0領(lǐng)先，求最后A、B隊(duì)各自獲勝的概率;
（Ⅱ）B隊(duì)以3:2獲勝的概率.
解:（Ⅰ）設(shè)最后A獲勝的概率為
設(shè)最后B獲勝的概率為
…………………………………4分
……………………8分
（Ⅱ）設(shè)B隊(duì)以3:2獲勝的概率為
.
20．（四市聯(lián)考）有外形相同的球分裝在三個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子10個(gè)球，其中第一個(gè)盒子中7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè)，試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一球，如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功，求試驗(yàn)成功的概率
解：設(shè)事件A{從第一個(gè)盒子中取得一個(gè)標(biāo)有字母A的球}，事件B={從第一個(gè)盒子中取
得一個(gè)標(biāo)有字母B的球}，
則A，B互斥，且P（A）=
，P（B）=
；（4分）
事件C={從第二號(hào)盒子中取一個(gè)紅球}，
事件D={從第三號(hào)盒子中取一個(gè)紅球}，
則C，D互斥，且P（C）=
（8分）顯然，事件A?C與事件B?D互斥，且事件A與C是相互獨(dú)立的，
B與D也是相互獨(dú)立的.所以試驗(yàn)成功的概率為
（11分）
答：本次試驗(yàn)成功的概率為
21．有甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，甲投籃的命中率為0.7，乙投籃的命中率為0.6，每人各投籃三
次：
（Ⅰ）甲恰有2次投中的概率；
（Ⅱ）乙至少有1次投中的概率；
（Ⅲ）甲、乙兩人投中數(shù)相等的概率。
(Ⅰ)甲恰有2次投中的概率
;…3分
(Ⅱ)乙至少有1次投中的概率可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中乙投中次數(shù)不少于1的事件發(fā)生的概率
……7分
(Ⅲ)分4種情況①甲乙均未投中;②甲乙均投中1次;③甲乙均投中2次;④甲乙均投中3次;故所求概率為
.…………12分
22．（開封2）在袋里裝30個(gè)小球，其中彩球有：n個(gè)紅色、5個(gè)藍(lán)色、10個(gè)黃色，其余為白球.
求：①如果已經(jīng)從中取定了5個(gè)黃球和3個(gè)藍(lán)球，并將它們編上了不同的號(hào)碼后排成一排，那么使藍(lán)色小球互不相鄰的排法有多少種？
②如果從袋里取出3個(gè)都是相同顏色彩球（無(wú)白色）的概率是
，計(jì)算紅球有幾個(gè)？
③根據(jù)②的結(jié)論，計(jì)算從袋中任取3個(gè)小球至少有一個(gè)是紅球的概率？
解：①將5個(gè)黃球排成一排只有
種排法，將3個(gè)藍(lán)球放在5個(gè)黃球所形成的6個(gè)空上，有
種放法 ∴所求的排法為
=5×4×3×2×6×5×4=14400（種）…4分
②取3個(gè)球的種數(shù)為
設(shè)“3個(gè)球全紅色”為事件A，“3個(gè)全藍(lán)色”為事件B，“3個(gè)球全黃色”為事件C. 
∵A、B、C為互斥事件 ∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C） 即 
取3個(gè)球紅球的個(gè)數(shù)≤2，又∵n≥2，故n = 2 ……8分 ③記“3個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球”為事件D，則
為“3個(gè)球中沒(méi)有紅球”
或 
23．（蘇四2）高三（1）班、高三（2）每班已選出3名學(xué)生組成代表隊(duì)，進(jìn)行乒乓球?qū)官�，比賽�?guī)則是：
①按“單打、雙打、單打”順序進(jìn)行三盤比賽；
②代表隊(duì)中每名隊(duì)員至少參加一盤比賽，不得參加兩盤單打比賽；
③先勝兩盤的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束.
已知每盤比賽雙方勝出的概率均為
（Ⅰ）根據(jù)比賽規(guī)則，高三（1）班代表隊(duì)共可排出多少種不同的出場(chǎng)陣容？
（Ⅱ）高三（1）班代表隊(duì)連勝兩盤的概率是多少？
（Ⅲ）高三（1）班代表隊(duì)至少勝一盤的概率為多少？
解：（Ⅰ）參加單打的隊(duì)員有
種方法.參加雙打的隊(duì)員有
種方法. （2分）
所以，高三（1）班出場(chǎng)畫容共有
（4分）
（Ⅱ）高三（1）班代表隊(duì)連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負(fù)，其余兩盤勝.（6分）
所以，連勝兩盤的概率為
（8分）
（Ⅲ）高三（1）班至少勝盤，可分為：
（1）勝一盤，此時(shí)的概率為
（9分）
（2）勝兩盤，此時(shí)的概率為
（11分）
所以，高三（1）班至少勝一盤的概率為
（12分）或：
高三（1）班代表隊(duì)至少勝一盤的對(duì)立事件為輸?shù)羟皟杀P所以，所求概率為
（12分）
1990――2002年高考立體幾何試題匯編
(90全國(guó)) 如圖,在三棱錐SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).
（91全國(guó)）已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點(diǎn)B到平面EFG的距離．
（92理）兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA1的長(zhǎng)度為d。在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F,設(shè)A1E=m，AF=n
（93全國(guó)）如圖,A1B1C1-ABC是直三棱柱,過(guò)點(diǎn)A1、B、C1的平面和平面ABC的交線記作l.
(Ⅰ)判定直線A1C1和l的位置關(guān)系,并加以證明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求頂點(diǎn)A1到直線l的距離.
（94全國(guó)）如圖,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中點(diǎn).
(1)證明AB1∥平面DBC1；
(2)假設(shè)AB1⊥BC1,求以BC1為棱,DBC1與CBC1為面的二面角α的度數(shù).
（95全國(guó)）如圖，ABCD是圓柱的軸截面，點(diǎn)E在底面的周長(zhǎng)上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。
(1)求證：AF⊥DB
(2)如果AB=a，圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于3π，求點(diǎn)E到截面ABCD的距離
（96全國(guó)）如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥側(cè)面AC1.
(Ⅰ)求證:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù).
注意:在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).
(Ⅰ)證明:在截面A1EC內(nèi),過(guò)E作EG⊥A1C,G是垂足.
① ∵_(dá)_________________________________
∴EG⊥側(cè)面AC1;取AC的中點(diǎn)F,連結(jié)BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
�、� ∵_(dá)__________________________________
∴BF⊥側(cè)面AC1;得BF∥EG,BF、EG確定一個(gè)平面,交側(cè)面AC1于FG.
�、� ∵ __________________________________
∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,
④ ∵_(dá)________________________________
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
�、� ∵_(dá)________________________
(Ⅱ)解:
（97全國(guó)）如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明AD⊥D1F;
(Ⅱ)求AE與D1F所成的角;
(Ⅲ)證明面AED⊥面A1FD1;
（00廣東、全國(guó)）如圖，已知平行六面體ABCD―A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，
（Ⅰ）證明：C1C⊥BD；
（Ⅱ）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明。
（00兩省一市）如圖，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=，棱=2，M、N分別是、的中點(diǎn)。
（I）求的長(zhǎng)；
（II）求，的值；
（III）求證
（01廣東、全國(guó)）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐Ｓ―ABCD中，
∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD， SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝．
(Ⅰ)求四棱錐S―ABCD的體積；
(Ⅱ)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．
（01兩省一市）如圖，以正四棱錐V-ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，其中Ox∥BC,Oy∥AB.E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為h
(Ⅰ)求cos<,>;
(Ⅱ)記面BCV為，面DCV為，若BED是二面角的平面角，求BED
（02全國(guó)）如圖，正方形、的邊長(zhǎng)都是1，而且平面、互相垂直。點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若（）
（1）求的長(zhǎng)；
（2）為何值時(shí)，的長(zhǎng)最小；
（3）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求面與面所成二面角的大小。
（02兩省一市）如圖，正三棱柱ABC―A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為。
（1） 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)A、B、A1、C1的坐標(biāo)；
（2） 求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
（02廣東）四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面。
（1）若面與面所成的二面角為，求這個(gè)四棱錐的體積；
（2）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化。面與面所成的二面角恒大于
直線和圓高考試題集
1、(1997文)已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是_______
2、(2003江蘇卷)已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0）直線y=x－1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）
A． B． C． D．
3、(2004上海春季)已知傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，在第一象限，.
⑴ 求點(diǎn)的坐標(biāo)；
⑵若直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；
⑶對(duì)于平面上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱的最小值為與線段的距離. 已知點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，寫出點(diǎn)到線段的距離關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
4、(2004北京春季理)已知點(diǎn)A（2，8），，在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合（如圖）
⑴寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
⑵求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
⑶求BC所在直線的方程。
5、(2002全國(guó)春季)已知某橢圓的焦點(diǎn)是、，過(guò)點(diǎn)并垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，且，橢圓上不同的兩點(diǎn)、滿足條件：、、成等差數(shù)列．
⑴求該橢圓方程；
⑵求弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
⑶設(shè)弦的垂直平分線的方程為，求的取值范圍．
6、(2001上海春季)已知橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足。過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求：
⑴點(diǎn)的軌跡方程；⑵點(diǎn)的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
7、(2004廣州春季高畢)已知向量=（x，），=（1，0），且（+）（?）．
⑴求點(diǎn)Q（x，y）的軌跡C的方程；
⑵設(shè)曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)A（0，－1），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
8、(2003上海理)在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，－3）為△OAB的直角頂點(diǎn).已知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零.
⑴求向量的坐標(biāo)；
⑵求圓關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程；
⑶是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，說(shuō)明理由：若存在，求a的取值范圍.
9、(1992理)已知橢圓，A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x0,0）.證明：
10、(2003春季北京理)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線相切，點(diǎn)C在l上.
⑴求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn).
（i）問(wèn)：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；
（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.
11、(1987文)正方形ABCD在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知其一條邊AB在直線y=x+4上，C，D在拋物線x=y2上，求正方形ABCD的面積。
12、(1984理)求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（1，2），以y軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程。
13、(2004廣州春季高畢)若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為,則實(shí)數(shù)a的值為
（A）?1或 （B）1或3 （C）?2或6 （D）0或4
14、(2003全國(guó)理)已知圓C：（a＞0）及直線，當(dāng)直線被C截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，則a= （ ）
A． B． C． D．
15、(2002全國(guó)理)圓的圓心到直線的距離是
（A） �。˙） �。–） （D）
16、(1999理)直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為
（A） （B） （C） （D） （ C ）
17、(1990新題目組文)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是
（A）6 （B）4 （C）5 （D）1 （ B ）
18、(2003全國(guó)理) 已知常數(shù)在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19、(2003江蘇卷)已知常數(shù)，向量經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，a）以為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
20、(2002全國(guó)新課程卷理)平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，其中有且，則點(diǎn)的軌跡方程為( )
21、(2002全國(guó)新課程卷理)已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)使，，成公差小于零的等差數(shù)列。
⑴點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？
⑵若點(diǎn)P坐標(biāo)為，記為與的夾角，求。
22、(2002全國(guó)春季)已知橢圓的焦點(diǎn)是、，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如果延長(zhǎng)到，使得，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
（A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線的一支 （D）拋物線
23、(2001北京內(nèi)蒙古安徽春季)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．以OP為直角邊、點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是
（A）圓 （B）兩條平行直線 （C）拋物線 （D）雙曲線
24、(2000北京安徽春季理)如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線。
25、(1995理)已知橢圓，直線．P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|∙|OP|=|OR|2．當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.
26、(1999理)如圖，給出定點(diǎn)A（0）（）和直線B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C。求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。
27、(1985理)已知兩點(diǎn)P（-2，2），Q（0，2）以及一條直線：：y=x，設(shè)長(zhǎng)為的線段AB在直線上移動(dòng)，如圖。求直線PA和QB的交點(diǎn)M的軌跡方程。（要求把結(jié)果寫成普通方程）
28、(2004年安徽春季理)拋物線的準(zhǔn)線方程為＿＿＿＿＿.
29、(2003江蘇卷)拋物線的準(zhǔn)線方程是y=2，則a的值為（ ）
A． B．－ C．8 D．－8
30、(2002全國(guó)理)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么 。
31、(2002全國(guó)春季)若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_________．
32、(1994新考理)設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上滿足∠F1PF2=900，則△F1PF2的面積是 （ A ）
（A）1 （B） （C）2 （D）
33、(2000全國(guó)理)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是、，則等于
（A） （B） （C） （D）
34、(2004年安徽春季理)已知F1、F2為橢圓（）的焦點(diǎn)；M為橢圓上一點(diǎn)，MF1垂直于x軸，且∠F1MF2＝600，則橢圓的離心率為
（A） （B） （C） （D）
35、(2003廣東卷)雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，∠F1MF2=120°，則雙曲線的離心率為 （ ）
A． B． C． D．
36、(2003春季北京理)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2的值是 .
37、(2000全國(guó)理)橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠為鈍角時(shí),點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是 。
38、(2000北京安徽春季理)雙曲線的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是
（A）2 （B） （C） （D）
39、(1996理)設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過(guò)（，0），（0，）兩點(diǎn)。已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為�。� A ）
（A）2 （B） （C） （D）
40、(1999理)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為。若過(guò)F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到的距離，則橢圓的離心率是__________
41、(2001全國(guó)理)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．
42、(2001廣東卷)已知橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且ＢＣ∥x軸?求證直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)．
43、(2001北京內(nèi)蒙古安徽春季)已知拋物線．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，．
⑴求的取值范圍；
⑵若線段AB的垂直平分線交軸于點(diǎn)N，求面積的最大值．
44、(2002全國(guó)理)設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)、距離之差為，到軸、軸距離之比為。求的取值范圍。
45、(1983理)如圖，已知橢圓長(zhǎng)軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過(guò)橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N。設(shè)∠F2F1M=α（0≤α＜π）當(dāng)α取什么值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸的長(zhǎng)？
46、(1997理)設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1。在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線：的距離最小的圓的方程。
47、(2000全國(guó)理)如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍。
48、(1986理)過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線與拋物線y2=4x交于P1、P2兩點(diǎn)。記：線段P1P2的中點(diǎn)為P；過(guò)點(diǎn)P和這個(gè)拋物線的焦點(diǎn)F的直線為；的斜率為k。試把直線的斜率與直線的斜率之比表示為k的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，同時(shí)說(shuō)明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù)。
49、(2001廣東卷)對(duì)于拋物線ｙ２＝４ｘ上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P(a,0)都滿足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，則a的取值范圍是
A．（－∞,０） B．（－∞,２） C．［０,２］ D．（０,２）
50、(1990理)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，已知點(diǎn)P（0，）到這個(gè)橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是.求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)。
51、(1991理)雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)。若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程。
52、(1990文)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓的方程。
53、(1994新考理)已知直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。焦點(diǎn)在x軸正半軸。若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線和拋物線C的方程。
54、(1996理)已知是過(guò)點(diǎn)P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點(diǎn)，分別為A1、B1和A2、B2。
⑴求的斜率k1的取值范圍；⑵若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。
55、(1990文)在△ABC中，BC邊上的高所在的直線的方程為x-2y+1=0，∠A的平分線所在的直線方程為y=0。若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)。
56、(1993理)在面積為1的△PMN中，.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M，N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程。
58、(2004年安徽春季理)已知拋物線C：，過(guò)C上一點(diǎn)M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線.
⑴若C在點(diǎn)M的法線的斜率為－，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x0，y0）；
⑵設(shè)P（－2，a）為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過(guò)點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.
59、(2003春季北京理)有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點(diǎn)處，且AB=AC=a，BC=2b.今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處，（建立坐標(biāo)系如圖）
⑴若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小， 點(diǎn)P應(yīng)位于何處？
⑵若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？
不等式高考試題集
三角函數(shù)(1985年――2003年高考試題集)
新高考數(shù)列選題
1．（2000天津）（15）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________。
2．（2003天津文）5．等差數(shù)列 （ ）A．48 B．49 C．50 D．51
3．（2001天津）若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且則是 （ ）
（A）等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 （B）等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列
（C）等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 （D）既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列
4．（2000天津理）（21）（本小題滿分12分）
（I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)。
（II）設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列。
5．（2000天津文）（19）（本小題滿分12分）
設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求。
6．（2002天津理）21、（本題滿分12分）已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)使，，
成公差小于零的等差數(shù)列。
（1）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？
（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為，記為與的夾角，求。
7．（2002天津理）22、（本題滿分14分）已知是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足，，。
(1)求；
(2)證明；
(3)求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和。
8．（2003江蘇理）（22）（本小題滿分14分）
設(shè)，如圖，已知直線及曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為作直線平行于軸，交直線作直線平行于軸，交曲線的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列
（Ⅰ）試求的關(guān)系，并求的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明
9．（2003天津理）（22）（本小題滿分14分）
設(shè)為常數(shù)，且．
（Ⅰ）證明對(duì)任意≥1，；
（Ⅱ）假設(shè)對(duì)任意≥1有，求的取值范圍．
10．（2003天津文）19．（本題滿分12分）
已知數(shù)列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）證明
考試內(nèi)容：
數(shù)列。等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式。等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式。
數(shù)列的極限及其四則運(yùn)算。
數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用。
考試要求：
(1)理解數(shù)列的有關(guān)概念。了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。
(2)掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，并能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決一些問(wèn)題。
(3)了解數(shù)列極限的意義，掌握極限的四則運(yùn)算法則，會(huì)求公比的絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限。
(4)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
1. 給出20個(gè)數(shù):87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它們的和是( )(86年(5)3分)
(A)1789 (B)1799 (C)1879 (D)1899
2. 設(shè)命題甲:△ABC的一個(gè)內(nèi)角為60o，命題乙:△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列.那么( )(88年(11)3分)
(A)甲是乙的充分不必要條件 (B)甲是乙的必要不充分條件
(C)甲是乙的充要條件 (D)甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3. 已知{an}是等比數(shù)列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么的值等于( )(89年(5)3分)
(A)8 (B)16 (C)32 (D)48
4. 已知{an}是等比數(shù)列,且an＞0,a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25,那么a3＋a5＝( )(91年(7)3分)
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
5. 的值等于( )(91年(12)3分)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
6. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a5a6＝9,則log3a1＋log3a2＋……＋log3a10＝( )(93年(7)3分)
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2＋log35
7. 某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中,每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂為兩個(gè)),經(jīng)過(guò)3個(gè)小時(shí),這種細(xì)菌由一個(gè)可繁殖成( )(94年(5)4分)
(A)511個(gè) (B)512個(gè) (C)1023個(gè) (D)1024個(gè)
8. 等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若＝( )(95年(12)5分)
(A)1 (B) (C) (D)
9. 等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1＝－1，前n項(xiàng)和為Sn，已知等于( )(96年(10)4分)
(A) (B)－ (C)2 (D)－2
10. 等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和是30，前2m項(xiàng)和是100，則它的前3m項(xiàng)和是( )(96年(12)5分)
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260
11. 在等比數(shù)列{an}中,a1＞1,且前n項(xiàng)和Sn滿足,那么a1的取值范圍是( )(98年(15)5分)
(A)(1,＋∞) (B)(1,4) (C)(1,2) (D)(1,)
1. ＝____________.(86年(14)4分)
2. ＝____________.(87年(12)4分)
3. 已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，則＝_______.(88年(24)4分)
4. 已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，如果Sn是{an}的前n項(xiàng)和，那么等于_______.(90年(18)3分)
5. 已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是_________.(92年(23)3分)
6. 已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，首項(xiàng)a1＞0，S＝______.(93年(24)3分)
1. 設(shè)a (n＝1,2,3……),
Ⅰ.證明不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立;
Ⅱ.設(shè)b (n＝1,2,3……),用極限定義證明.(85年(16)10分)
2. 已知x1＞0,x1≠1,且x (n＝1,2,3……).試證:數(shù)列{xn}或者對(duì)任意的自然數(shù)n都滿足xn＜xn＋1,或者對(duì)任意的自然數(shù)n都滿足xn＋1＜xn.(86年(22)12分)
3. 設(shè)數(shù)列a1,a2,……an,……的前項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是Sn＝－ban＋1－,其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù),且b≠－1,
Ⅰ.求an和an＋1的關(guān)系式;
Ⅱ.寫出用n和b表示an的表達(dá)式;
Ⅲ.當(dāng)0＜b＜1時(shí),求極限Sn.(87年(20)12分)
4. 是否存在常數(shù)a,b,c,使得等式1?22＋2?32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對(duì)一切自然數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論.(89年(23)10分)
5. 有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12,求這四個(gè)數(shù).(90年(21)10分)
6. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3＝12,S12＞0,S13＜0,
Ⅰ.求公差d的取值范圍;
Ⅱ.指出S1,S2,……S12中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由.(92年(27)10分)
7. 設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)的和為Sn,并且對(duì)所有的自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng),
Ⅰ.寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng);
Ⅱ.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(寫出推導(dǎo)過(guò)程);
Ⅲ.令b,(n∈N),求(b1＋b2＋……＋bn－n).(94年(25)14分)
8. 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,
Ⅰ.證明:(lgSn＋lgSn＋2)＜lgSn＋1;
Ⅱ.是否存在常數(shù)c＞0,使得[lg(Sn－c)＋lg(Sn＋2－c)]＜lg(Sn＋1－c)成立?并證明你的結(jié)論.(95年(25)12分)
9. 已知數(shù)列{an},{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比分別為p,q,其中p＞q,且p≠1,q≠1.設(shè)cn＝an＋bn,Sn為數(shù)列{cn}的前項(xiàng)和,求.(97年(21)11分)
10. 已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1＝1,b1＋b2＋……＋b10＝145.
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn;
②設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝loga(1＋)(其中a>0且a≠1),記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.試比較Sn與的大小,并證明你的結(jié)論.(98年(25)12分)
11.
組成,帶鋼從一段輸入,經(jīng)過(guò)各隊(duì)軋輥逐步減薄后輸出
(1)輸入帶鋼的厚度為α,輸出帶鋼的厚度為β,若每對(duì)軋輥
的減薄率不超過(guò)r0,問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥?
(一對(duì)軋輥減薄率＝)
(2)已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥,所有軋輥周長(zhǎng)均為1600mm,若第k對(duì)軋輥有缺陷,每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn),在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上,疵點(diǎn)的間距為L(zhǎng)k,為了便于檢修,請(qǐng)計(jì)算L',L2,L3并填入下表(軋鋼過(guò)程中,帶鋼寬度不變,且不考慮損耗)(99年(22)12分)
軋輥序號(hào)k
1
2
3
4
疵點(diǎn)間距Lk(單位:mm)
1600
12. 已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線,當(dāng)n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)時(shí),該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1),設(shè)數(shù)列{xn}有f(xn)＝n(n＝1,2,…)定義
(1)求x1,x2和xn的表達(dá)式;(2)求f(x)的表達(dá)式,并寫出其定義域
(3)證明y＝f(x)的圖象與y＝x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)(99年(23)14分)
十九 函數(shù)高考試題選編
考試內(nèi)容：
集合.子集、交集、并集、補(bǔ)集.
映射.函數(shù)(函數(shù)的記號(hào)、定義域、值域).
冪函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的奇偶性.
反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.
指數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù).換底公式.簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程.
二次函數(shù).
考試要求：
(1)理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念.了解空集和全集的意義，了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義，能掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，能正確地表示一些較簡(jiǎn)單的集合.
(2)了解映射的概念，在此基礎(chǔ)上理解函數(shù)及其有關(guān)的概念掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.
(3)理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并能判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性與圖象的對(duì)稱性的關(guān)系描繪函數(shù)圖象.
(4)掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的概念及其圖象和性質(zhì)，并會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程.
1.在下面給出的函數(shù)中，哪一個(gè)既是區(qū)間(0，)上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)(85(3)3分)
A.y＝x2 B.y＝|sinx| C.y＝cos2x D.y＝esin2x
B
2.函數(shù)y＝(0.2)－x＋1的反函數(shù)是(86(2)3分)
A.y＝log5x＋1 B.y＝logx5＋1 C.y＝log5(x－1) D.y＝log5x－1
C
3.
在下列各圖中，y＝ax2＋bx與y＝ax＋b的圖象只可能是(86(9)3分)
A. B. C. D.
D
4.設(shè)S，T是兩個(gè)非空集合，且SËT，TËS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X B.T C.Φ D.S
D
5.在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)的是(87(5)3分)
A.y＝－log0.5(－x) B.y＝ C.y＝－(x＋1)2 D.y＝1＋x２
B
6.集合{1，2，3}的子集總共有(88(3)3分)
A.7個(gè) B.8個(gè) C.6個(gè) D.5個(gè)
B
7.如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，則＝(89(1)3分)
A.φ B.zendpeq C.{a，c} D.{b，e}
A
8.與函數(shù)y＝x有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是(89(2)3分)
A.y＝ B.y＝ C.y＝a
(a＞0且a≠1) D.y＝logaax(a＞0且a≠1)
D
9.已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在區(qū)間(－1，0)上是減函數(shù) B.在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)
C.在區(qū)間(－2，0)上是增函數(shù) D.在區(qū)間(0，2)上是增函數(shù)
A
10.方程2
的解是(90(1)3分)
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝9
A
11.設(shè)全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，則＝(90(9)3分)
A.φ B.{(2，3)} C.(2，3) D.{(x，y)|y＝x＋1}
B
12.如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A. B. C. D.
D
13.函數(shù)f(x)和g(x)的定義域?yàn)镽，“f(x)和g(x)均為奇函數(shù)”是“f(x)與g(x)的積為偶函數(shù)”的(90上海)
A.必要條件但非充分條件 B.充分條件但非必要條件
C.充分必要條件 D.非充分條件也非必要條件
B
14.如果loga2＞logb2＞0，那么(90廣東)
A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1
A
15.函數(shù)y＝(x＋4)2在某區(qū)間上是減函數(shù)，這區(qū)間可以是(90年廣東)
A.(－∞，－4] B.[－4，＋∞) C.[4，＋∞) D.(－∞，4]
A
16.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函數(shù)且最小值為－5 B.增函數(shù)且最大值為－5
C.減函數(shù)且最小值為－5 D.減函數(shù)且最大值為－5
B
17.設(shè)全集為R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于(91年⒂3分)
A. B.∪N C.∪N D.
D
18.等于(92(1)3分)
A. B.1 C. D.2
A
19.圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線c1，c2，c3，c4的n依次是(92(6)3分)
A.－2，－，2 B.2，，－2
C.－，－2，2， D.，2，－2，－
B
20.
函數(shù)y＝的反函數(shù)(92(16)3分)
A.是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù) B.是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是減函數(shù)
C.是奇函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù) D.是偶函數(shù)，它在(0，＋∞)上是增函數(shù)
C
21.如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
A
22.
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝ax和y＝(a－1)x2的圖象只可能是(92年上海)
A. B. C. D.
D
23.設(shè)全集I＝R，集合M＝{x|＞2}，N＝|logx7＞log37}，那么M∩＝(92年三南)
A.{x|x＜－2} B.{x|x＜－2或x≥3} C.{x|x≥3} D.{x|－2≤x＜3}
B
24.對(duì)于定義域?yàn)镽的任何奇函數(shù)f(x)都有(92年三南)
A.f(x)－f(－x)＞0(x∈R) B.f(x)－f(－x)≤0(x∈R)
C.f(x)f(－x)≤0(x∈R) D.f(x)f(－x)＞0(x∈R)
C
25.F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于0，則f(x)(93(8)3分)
A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)
C.可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù) D.不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
A
26.設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且3a＝4b＝6c，那么(93(16)3分)
A. B. C. D.
B
27.
函數(shù)y＝x＋a與y＝logax的圖象可能是(93年上海)
A. B. C. D.
C
28.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，則(93年三南)
A.M＝N B.NÌM C.MÌN D.M∩N＝φ
C
29.設(shè)全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，則＝(94(1)4分)
A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4}
C
30.
設(shè)函數(shù)f(x)＝1－(－1≤x≤0)，則函數(shù)y＝f－1(x)的圖象是(94(12)5分)
A. y B. y 1 C. y D. y 1 x
1
x 1
O
－1
－1 O x O
1 x －1
B
31.定義在R上的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，如果f(x)＝lg(10x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10x＋10－x＋1) B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10x＋1)－ D.g(x)＝－，h(x)＝
C
32.
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝logax和y＝(1－a)x的圖像只可能是(94上海)
A. y B. y C. y D. y
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
B
33.設(shè)I是全集，集合P，Q滿足PÌQ，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是(94年上海)
A.P∪Q＝Q B.∪Q＝I C.P∩＝φ D.
D
34.如果0＜a＜1，那么下列不等式中正確的是(94上海)
A.(1－a)
＞(1－a)
B.log(1－a)(1＋a)＞0 C.(1－a)3＞(1＋a)2 D.(1－a)1＋a＞1
A
35.已知I為全集，集合M，NÌI，若M∩N＝N，則(95(1)4分)
A. B.ÍN C. D.ÊN
C
36.
函數(shù)y＝－的圖象是(95(2)4分)
A. y B.
y C. y D. y
O 1 x
－1 O x O 1 x －1 O x
B
37.已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是(95(11)5分)
A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞)
B
38.如果P＝{x|(x－1)(2x－5)＜0}，Q＝{x|0＜x＜10}，那么(95年上海)
A.P∩Q＝φ B.PÌQ C.QÌP D.P∪Q＝R
B
39.已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，則(96(1)4分)
A.I＝A∪B B.I＝∪B C.I＝A∪ D.I＝
C
40.
當(dāng)a＞1時(shí)，同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x，y＝logax的圖象是(96(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1
1
1
1
O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x
A
41.設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1，f(x)＝x，則f(7.5)＝(96(15)5分)
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
B
42.如果loga3＞logb3＞0，那么a、b間的關(guān)系為(96上海)
A.0＜a＜b＜1 B.1＜a＜b C.0＜b＜a＜1 D.1＜b＜a
B
43.
在下列圖像中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝()x的圖像只可能是(96上海)
A. B. C. D.
A
44.設(shè)集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
B
45.將y＝2x的圖象
A.先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位 B.先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位
C.先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位 D.先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位
再作關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象.(97(7)4分)
D
46.定義在區(qū)間(－∞，＋∞)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)；偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)的圖象與f(x)重合.設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①與④ B.②與③ C.①與③ D.②與④
C
47.三個(gè)數(shù)60.7，0.76，log0.76的大小關(guān)系為(97上海)
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
D
48.
函數(shù)y＝a|x|(a＞1)的圖像是(98(2)4分)
A.
y B. y C. y D. y
1 1
1
o x
o x o x
o x
B
49.函數(shù)f(x)＝(x≠0)的反函數(shù)f－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.－x(x≠0) D.－(x≠0)
B
50.如果實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有(98年廣東)
A.最小值和最大值1 B.最大值1和最小值
C.最小值而沒(méi)有最大值 D.最大值1而沒(méi)有最小值
B
51.
如圖，I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪(99(1)4分)
C
52.已知映射f:AàB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且對(duì)任意的a∈A，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是|a|，則集合B中的元素的個(gè)數(shù)是(99(2)4分)
A.4 B.5 C.6 D.7
A
53.若函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，則g(b)＝(99(3)4分)
A.a B.a－1 C.b D.b－1
A
54.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，則在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2 B.3 C.4 D.5
C
55.《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過(guò)800元的部分不必納稅，超過(guò)800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分別累進(jìn)計(jì)算.
全月應(yīng)納稅所得額
稅率
不超過(guò)500元的部分
5%
超過(guò)500元至2000元的部分
10%
超過(guò)2000元至5000元的部分
15%
…
…
某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元 B.900～1200元 C.1200～1500元 D.1500～2800元
C
56.設(shè)全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000春京、皖(2)4分)
A.Φ B.edtqyzw C.{a，c} D.{b，e}
A
57.已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2000春京、皖)
A. B.8 C.18 D.
D
58.
函數(shù)y＝lg|x|(2000春京、皖(7)4分)
A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增
B.是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減
C.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增
D.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減
B
59.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如右圖，則(2000春京、皖(14)5分)
A.b∈(－∞，0) B.b∈(0，1) C.b∈(1，2) D.b∈(2，＋∞)
A
60.若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，則S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S B.T C.Φ D.有限集
A
61.已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的個(gè)數(shù)是(2000廣東)
A.15 B.16 C.3 D.4
A
62.設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，則在映射f下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)
A.(3，1) B.() C.() D.(1，3)
B
63.集合M＝{1，2，3，4，5}的子集個(gè)數(shù)是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)
A.32 B.31 C.16 D.15
A
64.函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、y都有(2001春京、皖、蒙(2)5分)
A.f(xy)＝f(x)f(y) B.f(xy)＝f(x)＋f(y)
C.f(x＋y)＝f(x)f(y) D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
C
65.函數(shù)y＝－的反函數(shù)是(2001春京、皖、蒙(4)5分)
A.y＝x2－1(－1≤x≤0) B.y＝x2－1(0≤x≤1)
C.y＝1－x2(x≤0) D.y＝1－x2(0≤x≤1)
C
66.已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)
A. B.8 C.18 D.
D
67.若定義在區(qū)間(－1， 0) 內(nèi)的函數(shù)f(x)＝log2a(x＋1) 滿足f(x)＞0， 則a的取值范圍是(2001年(4)5分)
A.(，＋∞) B.(0，] C.(0，) D.(0，＋∞)
C
68.設(shè)f(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題:(2001年(10)5分)
①若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)－g(x)單調(diào)遞增;
②若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)－g(x)單調(diào)遞增;
③若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)－g(x)單調(diào)遞減;
④若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)－g(x)單調(diào)遞減;
其中，正確的命題是
A.②③ B.①④ C.①③ D.②④
A
69.滿足條件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的個(gè)數(shù)是(2002年北京(1)5分)
A.1 B.2 C.3 D.4
B
70.下列四個(gè)函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(，π)上為減函數(shù)的是(2002年北京(3)5分)
A.y＝cos2x B.y＝2|sinx| C.y＝()cosx D.y＝－cotx
B
71.
如圖所示，fi(x)(i＝1，2，3，4)是定義在[0， 1]上的四個(gè)函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對(duì)[0， 1]中任意的x1和x2，任意l∈[0， 1]， f[lx1＋(1－l)x2]≤lf(x1)＋(1－l)f(x2)恒成立”的只有(2002年北京(12)5分)
A.f1(x)， f3(x) B.f2(x) C.f2(x)， f3(x) D.f4(x)
A
72.
一般地，家庭用電量(千瓦時(shí))與氣溫(℃)有一定的關(guān)系，用圖(1)表示某年12個(gè)月中每月的平均氣溫，圖(2)表示某家庭在這年12個(gè)月中每月的用電量，根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是(2002年上海(16)4分)
圖(1)
圖(2)
A.氣溫最高時(shí)，用電量最多 B.氣溫最低時(shí)，用電量最少
C.當(dāng)氣溫大于某一值時(shí)，用電量隨氣溫增高而增加
D.當(dāng)氣溫小于某一值時(shí)，用電量隨氣溫降低而增加
C
73.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，則(2002年全國(guó)(5)、廣東(5)、天津(6)5分)
A.M＝N B.MÌN C.NÌM D.M∩N＝φ
B
74.函數(shù)f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函數(shù)的充要條件是(2002年廣東(7)5分)
A.ab＝0 B.a＋b＝0 C.a＝b D.a2＋b2＝0
D
75.函數(shù)y＝1－(2002年廣東(9)5分)
A.在(－1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增 B.在(－1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減
C.在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增 D.在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減
C
76.函數(shù)y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(2002年全國(guó)(9)、天津(8)5分)
A.b≥0 B.b≤0 C.b＞0 D.b＜0
A
77.據(jù)2002年3月9日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》：“2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95 933億元，比上年增長(zhǎng)7.3%”，如果“十?五”期間(2001年――2005年)每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十?五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為(2002年全國(guó)(12)、廣東(12)、天津(12)5分)
A.115 000億元 B.120 000億元 C.127 000億元 D.135 000億元
C
78.
函數(shù)y＝1－的圖像是(2002年全國(guó)(10)5分)
A． B. C. D.
B
79.若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，則M∩P＝(2003年春北京(1)5分)
A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}
C
80.若f(x)＝，則方程f(4x)＝x的根是(2003年春北京(2)5分)
A． B．－ C．2 D．－2
A
81.關(guān)于函數(shù)f(x)＝(sinx)2－，有下面四個(gè)結(jié)論：
(1)f(x)是奇函數(shù) (2)當(dāng)x＞2003時(shí)， f(x)＞恒成立
(3)f(x)的最大值是 (4)f(x)的最小值是－
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(2003年春上海(16)4分)
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
A
1. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是[0，1]，則函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)開_______.(85(10)4分)
答：[－1，1]
2. 已知圓的方程為x2＋(y－2)2＝9，用平行于x軸的直線把圓分成上下兩個(gè)半圓，則以上半圓(包括端點(diǎn))為圖像的函數(shù)表達(dá)式為_____________(85廣東)
答：y＝2＋
3. 方程
的解是__________.(86(11)4分)
答：x1＝
4. 方程9－x－2?31－x＝27的解是_________.(88(17)4分)
答：x＝－2
5. 函數(shù)y＝的反函數(shù)的定義域是__________.(89(15)4分)
答：(－1，1)
6. 函數(shù)y＝的值域?yàn)開______________(89廣東)
答：y≥0
7. 函數(shù)y＝的定義域是________________(90上海)
答：[－4，－2)∪(－2，＋∞)
8. 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，若當(dāng)x≤1時(shí)，y＝x2＋1，則當(dāng)x＞1時(shí)，y＝_________(91年上海)
答：(x－2)2＋1
9. 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋的定義域是[n，n＋1](n是自然數(shù))，那么在f(x)的值域中共有_______個(gè)整數(shù)(91年三南)
答：2n＋2
10.
方程＝3的解是___________.(92(19)3分)
答：x＝－1
11.
設(shè)含有10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為T，則的值為__________.(92(21)3分)
答：
12.
已知函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)為f－1(x)＝－1(x≥0)，那么函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開________(92上海)
答：x≥－1
13. 設(shè)f(x)＝4x－2x＋1(x≥0)，f－1(0)＝_________.(93(23)3分)
答：1
注:原題中無(wú)條件x≥0，此時(shí)f(x)不存在反函數(shù).
14. 函數(shù)y＝x2－2x＋3的最小值是__________(93年上海)
答：2
15. 在測(cè)量某物理量的過(guò)程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到a1，a2，…an，共n個(gè)數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測(cè)物理量的“最佳近似值”a是這樣一個(gè)量:與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1，a2，…an推出的a＝_______. (94(20)4分)
答：
16. 函數(shù)y＝lg的定義域是________________(95上海)
答：(lg2，＋∞)
17. 1992年底世界人口達(dá)到54.8億，若人口的年平均增長(zhǎng)率為x%，2000年底世界人口數(shù)為y(億)，那么y與x的關(guān)系式為___________(96上海)
答：y＝54.8(1＋x%)8
18. 方程log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2的解是x＝________(96上海)
答：1
19. 函數(shù)y＝的定義域?yàn)開___________(96上海)
答：(1，2)
20. lg20＋log10025＝________(98上海)
答：2
21. 函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大，則a＝______(98上海)
答：
22. 函數(shù)y＝的最大值是__________(98年上海)
答：4
23. 函數(shù)y＝log2的定義域?yàn)開___________(2000上海(2)4分)
答：(，3)
24. 已知f(x)＝2x＋b的反函數(shù)為y＝f－1(x)，若y＝f－1(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(5，2)，則b＝_______(2000上海(5)4分)
答：1
25. 根據(jù)上海市人大十一屆三次會(huì)議上的市政府工作報(bào)告，1999年上海市完成GDP(GDP是值國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)4035億元，2000年上海市GDP預(yù)期增長(zhǎng)9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增長(zhǎng)率將控制在0.08%，若GDP與人口均按這樣的速度增長(zhǎng)，則要使本市人均GDP達(dá)到或超過(guò)1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口總數(shù)約1300萬(wàn))
答：9
26. 
設(shè)函數(shù)y＝f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間[0，1]上的圖像為如圖所示的線段AB，則在區(qū)間[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
答：x
27. 函數(shù)
的反函數(shù)
______．(2001年春上海(1)4分)
答：－(x≥1)
28. 關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)有以下命題：(2001年春上海(11)4分)
(1)對(duì)任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；
(2)不存在φ，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
(3)存在φ，使f(x)是奇函數(shù)；
(4)對(duì)任意的φ，f(x)都不是偶函數(shù)。
其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_______。因?yàn)楫?dāng)φ=_______時(shí)，該命題的結(jié)論不成立。
答：(1)，kπ(k∈Z)；(1)，＋kπ(k∈Z)；(4)，＋kπ(k∈Z)等。(兩個(gè)空格全填對(duì)時(shí)才能得分，其中k也可以寫成任何整數(shù))
29. 方程log3(1－2?3x)＝2x＋1的解x＝_____________.(2002年上海(3)4分)
答：－1
30. 已知函數(shù)y＝f(x)(定義域?yàn)镈，值域?yàn)锳)有反函數(shù)y＝f－1(x)，則方程f(x)＝0有解x＝a，且f(x)＞x(x∈D)的充要條件是y＝f－1(x)滿足___________(2002年上海(12)4分)
答：_f－1(0)＝a且f－1(x)＜x(x∈A)；y＝f－1(x)的圖像在直線y＝x的下方，且與y軸的交點(diǎn)為(0，a)；……
31. 函數(shù)y＝(x∈(－1，＋∞))圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為________。(2002年天津(13)4分)
答：(0，0)，(1，1)
32. 函數(shù)y＝ax在[0，1]上的最大值和最小值之和為3，則a＝______(2002年全國(guó)(13)4分)
答：2
33. 已知函數(shù)f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________(2002年全國(guó)(16)、廣東(16)、天津(16)4分)
答：
34. 若存在常數(shù)p＞0，使得函數(shù)f(x)滿足f(px)＝f(px－)(x∈R)，則f(x)的一個(gè)正周期為_________.(2003年春北京(16)4分)
答：(填的任何一個(gè)正整數(shù)倍均可)
35. 已知函數(shù)f(x)＝＋1，則f－1(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分)
答：4
36. 已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}且AÍB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.(2003年春上海(5)4分)
答：(－∞，－2)
37. 若函數(shù)y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則b＝__________.(2003年春上海(11)4分)
答：6
1. 解方程 log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1).(85(11)7分)
解：由原對(duì)數(shù)方程有意義，可得x的取值范圍是－0.5＜x＜1，
原方程化為log4 即
解這個(gè)方程得x1＝0，x2＝7.
其中x1＝0∈(－，1)是原方程的解，x2＝7Ï(－，1)，應(yīng)舍去.
2. 設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整數(shù)}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m是整數(shù)}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是xoy平面內(nèi)的集合，討論是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同時(shí)成立.(85(17)12分)
解法一:如果存在實(shí)數(shù)a和b使得①式成立，則存在整數(shù)m和n使得
(n，na＋b)＝(m，3m2＋15)
即n＝m， na＋b＝3m2＋15
∴na＋b＝3n2＋15
這個(gè)等式表明點(diǎn)P(a，b)在直線l:nx＋y＝3n2＋15上
原點(diǎn)O到直線l的距離d＝
∴d≥12，當(dāng)且僅當(dāng)n2＝3時(shí)取等號(hào)，而n∈Z，∴n2≠3，故只有d＞12
∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離|PO|＝＞d＞12，即a2＋b2＞144.
而②成立要求a2＋b2≤144.
由此可知，同時(shí)滿足①②的a，b不存在.
解法二:如果存在實(shí)數(shù)a，b能同時(shí)滿足①②，
同解法一，由①成立知，存在整數(shù)n使得na＋b＝3n2＋15，即b＝3n2－na＋15， (*)
由②成立得a2＋b2≤144
將(*)式代入上式，并按a整理得關(guān)于a的二次不等式
(1＋n2)a2－2n(3n2＋15)a＋(3n2＋15)2－144≤0
它的判別式△＝4n2(3n2＋15)2－4(1＋n2)[(3n2＋15)2－144]＝－36(n2－3)
∵n∈Z，∴n2－3≠0，于是△＜0
又因1＋n2＞0，故這個(gè)關(guān)于a的不等式不可能有實(shí)數(shù)解
即是說(shuō)不存在實(shí)數(shù)a，b，使得①②同時(shí)成立.
解法三:如果存在實(shí)數(shù)a，b能同時(shí)滿足①②，同解法一，由①成立知，存在整數(shù)n使得
3n2－an－(b－15)＝0
(*)
于是它的判別式應(yīng)非負(fù)，即△＝a2＋12b－180≥0
(**)
由此得12b－180≥－a2
由②成立知a2＋b2≤144，
(***)
即
－a2≥b2－144
因此有12b－180≥b2－144
即(b－6)2≤0
只有b＝6
將b＝6代入判別式(**)得出a2≥108
但將b＝6代入(***)式得出a2≤108
于是只有a2＝108，此時(shí)從(*)式解出n＝ÏZ
所以不存在實(shí)數(shù)a，b，使得①②同時(shí)成立.
3. 已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，A∩B含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù):①CÍA∪B，且C中含有3個(gè)元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
解法一:以為A，B各含有12個(gè)元素，A∩B含有4個(gè)元素，因此A∪B的元素個(gè)數(shù)是12＋12－4＝20個(gè)，所以滿足條件①的集合個(gè)數(shù)是C
，在上面集合中，還滿足A∩C＝φ的集合C的個(gè)數(shù)是C
，因此所求集合C的個(gè)數(shù)為
＝1084.
解法二:由題目條件可知，屬于B而不屬于A的元素個(gè)數(shù)是12－4＝8，因此，在A∪B中只含A中1個(gè)元素的所求集合C的個(gè)數(shù)為C
；同理，含A中2個(gè)元素和3個(gè)元素的集合C的個(gè)數(shù)分別為C
和C
，總數(shù)為C
＝1084.
4. 給定實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝(x∈R且x≠)，證明:
①經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸；
②這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱圖形.(88(24)12分)
證法一:①設(shè)M1(x1，y1)，M2(x2，y2)是這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)，則x1≠x2，且
y2－y1＝
＝
∵a≠1且x1≠x2，∴y2－y1≠0
從而直線M1M2的斜率k＝≠0，因此直線M1M2不平行于x軸.
②設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)是這個(gè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，則x1≠ (i)
易知點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(y1，x1)
由(i)式得 y1(ax1－1)＝x1－1
變形得 x1(ay1－1)＝y(tǒng)1－1
(ii)
假如ay1－1＝0，則y1≠，代入(i)得 Þ a＝1
這與已知a≠1矛盾，∴ay1－1≠0
于是由(ii)式得 x1= 這說(shuō)明點(diǎn)P1(y1，x1)也在已知函數(shù)的圖象上
因此這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱圖形.
證法二:①設(shè)M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，是這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)，則x1≠x2，
假如直線M1M2平行于x軸，那么y1＝y(tǒng)2，即
去分母整理得 a(x1－x2)＝x1－x2，
∵x1≠x2，所以a＝1，這與已知矛盾，因此M1M2不平行于x軸.
②先求所給函數(shù)的反函數(shù).
由 y＝ (x∈R且x≠)
得 y(ax－1)＝x－1 即 x(ay－1)＝y(tǒng)－1
假如ay－1＝0，則y＝，代入所給函數(shù)的解析式，得
即ax－a＝ax－1 所以a＝1，這與已知矛盾，故ay－1≠0
于是x＝
所以原函數(shù)的反函數(shù)為y＝(x≠)，與原函數(shù)相同.
由于函數(shù)y＝f(x)的圖象和它的反函數(shù)y＝f－1(x)的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，
所以函數(shù) y＝ (x∈R且x≠)的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱.
證法三:①任取一條與x軸平行的直線l，設(shè)其方程為y＝c(c為常數(shù))
下面考慮l與所給函數(shù)的圖象是否相交，以及交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況:
將y＝c代入y＝
整理得 (ca－1)x＝c－1
若ca－1＝0，即c＝時(shí)，上式變?yōu)?＝c－1，即c＝1 Þ a＝1
這與已知矛盾，故此時(shí)l與函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)ca－1≠0時(shí)，得x＝
這說(shuō)明原方程只有一個(gè)解，從而直線l與函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)(，c)，
綜上所述，平行于x軸的直線l不可能同時(shí)經(jīng)過(guò)所給函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)，
因此，經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的直線不平行于x軸.
5. 
已知a＞0且a≠1，試求使方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有解的k的取值范圍.(89(22)12分)
解法一:由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解x應(yīng)滿足
當(dāng)①②同時(shí)成立時(shí)，③顯然成立，因此只須聯(lián)立解①②即可.
由①得2kx＝a(1＋k2)
④
當(dāng)k＝0時(shí)，由a＞0知④無(wú)解，因而原方程無(wú)解；
當(dāng)k≠0時(shí)，④的解為x＝ ⑤
將⑤代入②得 ＞ak
當(dāng)k＜0時(shí)得k2＞1，即k＜－1； y y1
當(dāng)k＞0時(shí)得k2＜1，即0＜k＜1；
y2
y2
綜合得k∈(－∞，－1)∪(0，1)時(shí)原方程有解.
解法二:原方程等價(jià)于 x－ak＝ (x2＞a2)
ak －a o a x
記y1＝x－ak，y2＝ (x≠±a)
則y2是雙曲線x2－y2＝a2在雙曲線上方的部分其漸近線為y＝±x，
y1是一條在x軸上截距為ak的直線，且平行于雙曲線的一條漸近線，
如圖，當(dāng)y1與y2有公共點(diǎn)時(shí)原方程有解，可得
ak＜－a或0＜ak＜a，
由a＞0得k＜－1或0＜k＜1；
即當(dāng)k∈(－∞，－1)∪(0，1)時(shí)原方程有解.
注:用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)應(yīng)說(shuō)明或論證出圖象與本題有關(guān)的主要性質(zhì)，否則要扣分.
6. 設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z，用Ik表示區(qū)間(2k－1，2k＋1]，已知當(dāng)x∈I0時(shí)，f(x)＝x2.(89(24)10分)
①求f(x)在Ik上的解析表達(dá)式；
②對(duì)自然數(shù)k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有兩個(gè)不相等的實(shí)根}
解：①解:設(shè)x∈Ik，則x－2k∈I0，又f(x)是以2為周期的函數(shù)，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)2，
即對(duì)于k∈Z，當(dāng)x∈Ik時(shí)，f(x)＝(x－2k)2，
②解法一:當(dāng)k∈N且x∈Ik時(shí)，由①可得方程為(x－2k)2＝ax
整理得 x2－(4k＋a)x＋4k2＝0
它的判別式△＝(4k＋a)－16k2＝a(a＋8k)
且 x1，2＝
于是，f(x)＝ax在區(qū)間Ik上恰有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是a滿足
化簡(jiǎn)得
由(i)知a＞0或a＜－8k (∵k∈N，∴k＞0)
當(dāng)a＞0時(shí)，因2＋a＞2－a，故從(ii)(iii)可得 a(a＋8k)≤(2－a)2
即 即 即0＜a≤
當(dāng)a＜－8k時(shí)，2＋a＜2－8k＜0，易知 a(a＋8k)＜(2＋a)2
無(wú)解，
綜上所述，a應(yīng)滿足0＜a≤，故所求集合為 Mk＝{a|0＜a≤}
解法二:由①可得方程為(x－2k)2＝ax (i) y
記y1＝ax，y2＝(x－2k)2，
y1 y2
要使方程(i)在Ik＝(2k－1，2k＋1]上有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)解， 1
只須y1與y2的圖象在內(nèi)有兩個(gè)相異交點(diǎn).
o Ik x
當(dāng)x∈Ik時(shí)，y1是一條線段，其所在直線過(guò)原點(diǎn)，斜率為a，
y2是一段拋物線，頂點(diǎn)在(2k，0)，開口向上，如圖:
當(dāng)y1夾在x軸與l之間時(shí)滿足題意，其斜率應(yīng)滿足0＜a≤.
故所求集合為 Mk＝{a|0＜a≤}
7. 
設(shè)f(x)＝lg，其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)，且n≥2.
①如果f(x)當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)有意義，求a的取值范圍；
②如果a∈(0，1]，證明2f(x)＜f(2x)當(dāng)x≠0時(shí)成立.(90(24)10分)
①解:f(x)當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)有意義的條件是
1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa＞0 x∈(－∞，1] n≥2
即a＞－[(] x∈(－∞，1]
(i)
因?yàn)?－()x (k＝1，2，3，……，n－1)在(－∞，1]上都是增函數(shù)，
所以－[(]在(－∞，1]上也都是增函數(shù)，
從而它在x＝1時(shí)取得最大值，為－[(.
因此(i)式等價(jià)于a＞－.
也就是的取值范圍為{a|a＞－}.
②證法一: 2f(x)＜f(2x)
a∈(0，1]， x≠0，即
[1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa]2＜n[1＋22x＋32x＋……＋(n－1)2x＋n2xa]
a∈(0，1]，x≠0，
現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式:
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