第十、十一講   三角函數的圖象與性質

★★★高考在考什么

【考題回放】

1.已知函數（、為常數，，）在處取得最小值，則函數是（　D�。�

（A）偶函數且它的圖象關于點對稱

（B）偶函數且它的圖象關于點對稱

（C）奇函數且它的圖象關于點對稱

（D）奇函數且它的圖象關于點對稱

2．定義在R上的函數既是偶函數又是周期函數，若的最小正周期是，且當時，，則的值為    （ D ）

（A）       （B）        （C）      （D）

3．函數y = －x?cosx的部分圖象是(  D  )

4．① 存在使

② 存在區(qū)間（a，b）使為減函數而＜0

③ 在其定義域內為增函數

④ 既有最大、最小值，又是偶函數

⑤ 最小正周期為π

以上命題錯誤的為____________.①②③⑤

5．把函數y=cos(x+)的圖象向右平移φ個單位，所得的圖象正好關于y對稱，則φ的最小正值為       

6．設函數f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期為π，并且當x=時，有最大值f（）=4.

（1）求a、b、ω的值；

（2）若角a、β的終邊不共線，f（a）=f（β）=0，求tan（a+β）的值.

【專家解答】（1）由=π，ω＞0得ω=2.  ∴f（x）=asin2x+bcos2x.

由x=時，f（x）的最大值為4，得

（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依題意4sin（2α+）=4sin（2β+）=0.

∴sin（2α+）－sin（2β+）=0.   ∴cos（α+β+）sin（α－β）=0

∵α、β的終邊不共線，即α－β≠kπ（k∈Z）， 故sin（α－β）≠0.

∴α+β=kπ+（k∈Z）.∴tan（α+β）=.

★★★高考要考什么

【考點透視】

本專題主要涉及正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質. 掌握兩種作圖方法：“五點法”和變換作圖（平移、對稱、伸縮）；三角函數的性質包括定義域、值域（最值），單調性、奇偶性和周期性.

【熱點透析】

三角函數的圖象和性質是高考的熱點，在復習時要充分運用數形結合的思想，把圖象和性質結合起來  本節(jié)主要幫助考生掌握圖象和性質并會靈活運用 常見題型：

1  考查三角函數的圖象和性質的基礎題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數圖象的基礎上要對三角函數的性質靈活運用 

2  三角函數與其他知識相結合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力  在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強 

3  三角函數與實際問題的綜合應用 

此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數學建模能力，要注意數形結合思想在解題中的應用

★★★突破重難點

【范例1】右圖為y=Asin(wx+j)的圖象的一段，求其解析式。

解析  法1以M為第一個零點，則A=，

所求解析式為

點M（在圖象上，由此求得

所求解析式為

法2. 由題意A=，，則

圖像過點        

即 取

所求解析式為

【點晴】1. 由圖象求解析式時,”第一零點”的確定很重要,盡量使A取正值.

 2. 由圖象求解析式或由代數條件確定解析式時,應注意:

(1) 振幅 A=

(2) 相鄰兩個最值對應的橫坐標之差,或一個單調區(qū)間的長度為, 由此推出的值.

(3) 確定值,一般用給定特殊點坐標代入解析式來確定.

【范例2】已知函數，

（1）求它的定義域和值域；（2）求它的單調區(qū)間；（3）判斷它的奇偶性；

（4）判斷它的周期性，如果是周期函數，求出它的最小正周期。

解析 （1）由題意得sinx-cosx＞0即，

從而得，

∴函數的定義域為，

∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函數f(x)的值域是。

（2）單調遞增區(qū)間是

單調遞減區(qū)間是，

（3）因為f(x)定義域在數軸上對應的點不關于原點對稱，故f(x)是非奇非偶函數。

（4）∵

     ∴函數f(x)的最小正周期T=2π。

【點睛】此題主要是考察對數函數與三角函數復合而成的復合函數的性質

【范例3】設函數，其中向量，，，且的圖象經過點．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求函數的最小值及此時值的集合．

解：（Ⅰ），

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

當時，的最小值為，

由，得值的集合為．

【范例4】設函數，，

其中，將的最小值記為．

（I）求的表達式；

（II）討論在區(qū)間內的單調性并求極值．

本小題主要考查同角三角函數的基本關系，倍角的正弦公式，正弦函數的值域，多項式函數的導數，函數的單調性，考查應用導數分析解決多項式函數的單調區(qū)間，極值與最值等問題的綜合能力．本小題滿分14分．

解：（I）我們有

         ．

由于，，故當時，達到其最小值，即

．

 （II）我們有．

列表如下：

極大值

極小值

由此可見，在區(qū)間和單調增加，在區(qū)間單調減小，極小值為，極大值為．

【范例5】已知二次函數f(x)對任意xÎR，都有f(1-x)= f(1+x)成立，設向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），當xÎ [0，]時，求不等式f（）＞f（）的解集．

解析:設f（x）的二次項系數為m，其圖象上兩點為（1-x，）、B（1＋x，）因為，，所以，由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，若m＞0，則x≥1時，f（x）是增函數，若m＜0，則x≥1時，f（x）是減函數．

∵　，，，，，

，

∴　當時，

，．

∵　，　∴　．

當時，同理可得或．

綜上的解集是當時，為；

當時，為，或．

【點晴】此題是三角函數與平面向量的綜合問題。利用函數的單調性解不等式是該題的重點和難點.

【變式】試判斷方程sinx=實數解的個數.

解析 方程sinx=實數解的個數等于函數y=sinx與y=的圖象交點個數

∵|sinx|≤1∴||≤1,  |x|≤100л

當x≥0時，如右圖，此時兩線共有

100個交點，因y=sinx與y=都是奇函數，由對稱性知當x≥0時，也有100個交點，原點是重復計數的所以只有199個交點。

【點睛】 此題主要考察數形結合解題的能力。該題在統(tǒng)計根的個數時，要注意原點的特殊性.

試題詳情

綿陽市梓潼一中高2009級三診模擬考試物理試題 2009-4-8

試題詳情

第九講  三角函數的求值

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．（海南）若，則的值為（C）

Ａ．      Ｂ．            Ｃ．              Ｄ．

2．（天津）“”是“”的（A）

Ａ．充分而不必要條件     Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充分必要條件            Ｄ．既不充分也不必要條件

3. 在△OAB中，O為坐標原點，，則當△OAB的面積達最大值時， （  D  ）

（A）           （B）           （C）           （D）

4．（江蘇）若，，則_____

5．（浙江）已知，且，則的值是

6．已知函數f(x)＝－sin²x＋sinxcosx．

   (Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 設∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) ，

   解得

★★★高考要考什么

【考點透視】

本專題主要涉及同角三角函數基本關系，誘導公式，兩角和差公式，倍角公式，升冪縮角、降冪擴角公式等公式的應用.

【熱點透析】

三角函數式的化簡和求值是高考考查的重點內容之一  通過本節(jié)的學習使考生掌握化簡和求值問題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧，以優(yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍

★★★突破重難點

【范例1】設0£q£p,P=sin2q+sinq-cosq

（1）   若t= sinq-cosq,用含t的式子表示P;

（2）   確定t的取值范圍，并求出P的最大值.

解析（1）由有

（2）

即的取值范圍是

在內是增函數，在內是減函數.

的最大值是

【點晴】間通過平方可以建立關系，“知其一，可求其二”．

【范例2】已知為的最小正周期， ，且．求的值．

解：因為為的最小正周期，故．

因，又．

故．

由于，所以

【范例3】設．

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若銳角滿足，求的值．

解：（Ⅰ）

．

故的最大值為；

最小正周期．

（Ⅱ）由得，故．

又由得，故，解得．

從而．

【范例4】已知的面積S 滿足且與的夾角為.

(1) 求的取值范圍；

(2) 求函數的最小值.

解： （1）由題意知，   ①

   ②

由②①，得即由得

又為與的夾角，

（2）

＝

即時，的最小值為3

【范例5】已知函數，．

（I）求的最大值和最小值；

（II）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

本小題主要考查三角函數和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數的圖象和性質解題的能力．

解：（Ⅰ）

．

又，，即，

．

（Ⅱ），，

且，

，即的取值范圍是．

【變式】已知f（x）=2asin²x－2asinx+a+b的定義域是［0,］，值域是［－5，1］,求a、b的值.

解析  令sinx=t，∵x∈［0，］，∴t∈［0，1］，

f（x）=g（t）=2at²－2at+a+b=2a（t－）²+b.

當a＞0時，則     解之得a=6，b=－5.

當a＜0時，則    解之得a=－6，b=1.

【點睛】注意討論的思想

試題詳情

第八講 數列綜合

★★★高考在考什么

【考題回放】

1.已知成等比數列，且曲線的頂點是，則等于（　B　）

Ａ．3      Ｂ．2      Ｃ．1      Ｄ．

2.已知等差數列的前項和為，若，則          ．7

3. 在等比數列中,,前項和為,若數列也是等比數列,則等于

A．         B.          C.           D.

【解析】因數列為等比，則，因數列也是等比數列，

則

即，所以，故選擇答案C。

4.設集合， 都是的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的，（，），都有（表示兩個數中的較小者），則的最大值是（　B�。�

A．10      B．11      C．12      D．13

5. 已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比數列，求數列{a_n}的通項a_n .

解析：解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

當a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比數列∴a₁≠3;

當a₁=2時，a₃=12， a₁₅=72， 有a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

6.已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為.

(I)求數列的首項和公比；

(II)對給定的，設是首項為，公差為的等差數列，求的前10項之和；

解: (Ⅰ)依題意可知,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以數列的的首項為,公差,

,即數列的前10項之和為155.

★★★高考要考什么

本章主要涉及等差（比）數列的定義、通項公式、前n項和及其性質，數列的極限、無窮等比數列的各項和．同時加強數學思想方法的應用，是歷年的重點內容之一，近幾年考查的力度有所增加，體現高考是以能力立意命題的原則．

高考對本專題考查比較全面、深刻，每年都不遺漏．其中小題主要考查

間相互關系，呈現“小、巧、活”的特點；大題中往往把等差（比）數列與函數、方程與不等式，解析幾何 等知識結合，考查基礎知識、思想方法的運用，對思維能力要求較高，注重試題的綜合性，注意分類討論．

高考中常常把數列、極限與函數、方程、不等式、解析幾何等等相關內容綜合在

一起，再加以導數和向量等新增內容，使數列綜合題新意層出不窮．常見題型：

（1）由遞推公式給出數列，與其他知識交匯，考查運用遞推公式進行恒等變形、推理與綜合能力．

（2）給出S_n與a_n的關系，求通項等，考查等價轉化的數學思想與解決問題能力．

（3）以函數、解析幾何的知識為載體，或定義新數列，考查在新情境下知識的遷移能力．

理科生需要注意數學歸納法在數列綜合題中的應用，注意不等式型的遞推數列．

★     ★★ 突 破 重 難 點

【范例1】已知數列，滿足，，且（）

（I）令，求數列的通項公式；

（II）求數列的通項公式及前項和公式．

解：（Ｉ）由題設得，即（）

易知是首項為，公差為２的等差數列，通項公式為．

（II）解：由題設得，令，則．

易知是首項為，公比為的等比數列，通項公式為． 由解得

， 求和得．

【變式】在等差數列中，，前項和滿足條件，

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）記，求數列的前項和。

解：（Ⅰ）設等差數列的公差為,由得：，所以，即，又＝，所以。

（Ⅱ）由，得。所以，

當時，；

當時，

，

即。

（理）已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。

（Ⅰ）、求數列的通項公式；

（Ⅱ）、設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；

解：（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.

【范例2】已知函數，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導數；設，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）證明：對任意的正整數n，都有>a；

（3）記（n=1,2,……），求數列{b_n}的前n項和S_n。

解析：（1）∵，是方程f(x)=0的兩個根，∴；

 （2），

=，∵，∴有基本不等式可知（當且僅當時取等號），∴同，樣，……，（n=1,2,……），

 （3），而，即，

，同理，，又

【文】已知函數，、是方程的兩個根()，是的導數

設，，.

(1)求、的值；

(2)已知對任意的正整數有,記,.求數列{}的前項和．

解、(1)  由    得           

     (2)            

       又 

數列是一個首項為 ,公比為2的等比數列;

【變式】對任意函數f（x），x∈D，可按圖示3―2構造一個數列發(fā)生器，其工作原理如下：

①輸入數據x₀∈D，經數列發(fā)生器輸出x₁＝f（x₀）；

②若x₁D，則數列發(fā)生器結束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂＝f（x₁），并依此規(guī)律繼續(xù)下去．

現定義f（x）=．

（Ⅰ）若輸入x₀＝，則由數列發(fā)生器產生數列｛x_n｝．請寫出數列｛x_n｝的所有項；

（Ⅱ）若要數列發(fā)生器產生一個無窮的常數列，試求輸入的初始數據x₀的值；

（Ⅲ）（理）若輸入x₀時，產生的無窮數列｛x_n｝滿足：對任意正整數n,均有x_n＜x_n＋1，求x₀的取值范圍．

解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域D＝（－∞?－1）∪（－1，＋∞）

∴數列｛x_n｝只有三項x₁＝，x₂＝，x₃＝－1

（Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x²－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2

即x₀＝1或2時，x_n＋1＝＝x_n，故當x₀＝1時，x₀＝1；當x₀＝2時，x_n＝2（n∈N）

（Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₂＜－1或1＜x₁＜2

對于函數f（x）＝。若x₁＜－1，則x₂＝f（x₁）＞4，x₃＝f（x₂）＜x₂

當1＜x₁＜2時，x₂＝f（x）＞x₁且1＜x₂＜2依次類推可得數列｛x_n｝的所有項均滿足x_n＋1＞x_n（n∈N）

綜上所述，x₁∈（1，2），由x₁＝f（x₀），得x₀∈（1，2）

【范例3】已知（）是曲線上的點，，是數列的前項和，且滿足，，…．

（I）證明：數列（）是常數數列；

（II）確定的取值集合，使時，數列是單調遞增數列；

（III）證明：當時，弦（）的斜率隨單調遞增

解：（I）當時，由已知得．

因為，所以．                …… ①

于是．                                  ……②

由②－①得．                             …… ③

于是．                                 ……  ④

由④－③得，                                 …… ⑤

所以，即數列是常數數列．

（II）由①有，所以．由③有，，所以，．而 ⑤表明：數列和分別是以，為首項，6為公差的等差數列，

所以，，，

數列是單調遞增數列且對任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

（III）解法一：弦的斜率為

任取，設函數，則

記，則，

當時，，在上為增函數，

當時，，在上為減函數，

所以時，，從而，所以在和上都是增函數．

由（II）知，時，數列單調遞增，

取，因為，所以．

取，因為，所以．

所以，即弦的斜率隨單調遞增．

解法二：設函數，同解法一得，在和上都是增函數，

所以，．

故，即弦的斜率隨單調遞增．

【文】設是數列（）的前項和，，且，，．（I）證明：數列（）是常數數列；

（II）試找出一個奇數，使以18為首項，7為公比的等比數列

第七講  數列求和

★★★高考在考什么

【考題回放】

1.設，則等于（ D ）

   A.    B.     C.     D.

2. 等差數列{a_n}中，a₁=1,a₃+a₅=14，其前n項和S_n=100,則n=（　B�。�

A．9      B．10       C．11       D．12

3.）數列的前項和為，若，則等于（　B�。�

A．1      B．      C．      D．

4.設S_n是等差數列｛a_n｝的前n項和，若＝，則＝

A.           B.                  C.          D.

解析:由等差數列的求和公式可得且

所以,故選A

5.已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則數列的前10項和等于（　　）

A．55　　　　  B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

解：數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則數列的前10項和等于=，，∴

=，選C.

6.對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數列的前n項和的公式是　　

解：，曲線y=xⁿ(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2^n-1-(n+1)2ⁿ

切點為（2，-2ⁿ）,所以切線方程為y+2ⁿ=k(x-2),令x=0得 a_n=(n+1)2ⁿ,令b_n=.數列的前n項和為2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2

　★★★高考要考什么

1．直接用等差、等比數列的求和公式求和。

    公比含字母時一定要討論

(理)無窮遞縮等比數列時，

2．錯位相減法求和：如：

3．分組求和：把數列的每一項分成若干項，使其轉化為等差或等比數列，再求和。

4．合并求和：如：求的和。

5．裂項相消法求和：把數列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。

常見拆項：               

6．公式法求和       

7．倒序相加法求和

★     ★★ 突 破 重 難 點

【范例1】設數列滿足，．

（Ⅰ）求數列的通項；  （Ⅱ）設，求數列的前項和．

解 (I)

驗證時也滿足上式，

(II) ，   ①

  ②   

   ①-② ：  ，

【變式】已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。（Ⅰ）、求數列的通項公式；

（Ⅱ）、設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；

點評：本小題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.

【范例2】已知數列中的相鄰兩項是關于的方程的兩個根，且．

（I）求，，，；   （II）求數列的前項和；

（Ⅲ）(理)記，，

求證：．

（I）解：方程的兩個根為，，

當時，，所以；

當時，，，所以；

當時，，，所以時；

當時，，，所以．

（II）解：．

（III）證明：，

所以，．

當時，，

，

同時，

．

綜上，當時，．

【變式】在數列中，，，．

（Ⅰ）證明數列是等比數列；

（Ⅱ）求數列的前項和；

（Ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．

解、（Ⅰ）證明：由題設，得，．

又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是數列的通項公式為．

所以數列的前項和．

（Ⅲ）證明：對任意的，

．

所以不等式，對任意皆成立．

【點睛】本題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．

【范例3】已知a₁=2，點(a_n,a_n+1)在函數f(x)=x²+2x的圖象上，其中=1，2，3，…

（1）       證明數列｛lg(1+a_n)｝是等比數列；

（2）       設T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及數列｛a_n｝的通項；

（3）       記b_n=，求｛b_n｝數列的前項和S_n，并證明S_n+=1.

解：（Ⅰ）由已知，       ，兩邊取對數得

        ，即

是公比為2的等比數列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知   （*）

                =

        由（*）式得

（Ⅲ）   

又

又.

【變式】已知數列滿足，并且（為非零參數，）．

（Ⅰ）若成等比數列，求參數的值；

（Ⅱ）設，常數且．證明．

　　解：（I）由已知且

　　　若、、成等比數列，則即而解得

　�。↖I）證明：設由已知，數列是以為首項、為公比的等比數列，故 則　

　　因此，對任意

　　當且時，

所以

試題詳情

第六講 求通項公式

★★★高考在考什么

【考題回放】

1. 已知數列{ a_n }的前n項和為S_n，且S_n=2(a_n -1)，則a₂等于(  A  )

A. 4        B. 2         C. 1        D. -2

2．在數列中，，且，則  35 ．

3．在數列｛a_n｝中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),則該數列的通項a_n=__2 ⁿ⁺¹-3___.

4．對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數列的前n項和的公式是　　2ⁿ⁺¹-2    .

5.已知數列{}的前項和，則其通項        ；若它的第項滿足，則       . 2n-10  ;  8

6.已知數列對于任意，有，若，則           ．4

7. 已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁, a₃, a₁₅成等比數列，求數列{a_n}的通項a_n .

解析  ∵10S_n=a_n²+5a_n+6，     ①    ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)， ②

   由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

當a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比數列∴a₁≠3;

當a₁=2時， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

★★★高考要考什么

一、 根據數列{a_n}的前n項和求通項Sn= a₁+ a₂+ a₃+ ……+ a_n   

已知數列前n項和Sn,相當于知道了n≥2時候a_n,但不可忽視n=1.

二、由遞推關系求數列的通項

1. 利用迭加a_n-a_n-1=f(n)、迭乘a_n/a_n-1=f(n)、迭代。

2.一階遞推,我們通常將其化為看成{b_n}的等比數列。

3.利用換元思想（變形為前一項與后一項成等差等比關系，直接寫出新數列通項化簡得a_n）。

4.對含a_n與S_n的題，進行熟練轉化為同一種解題，注意化簡時n的范圍。

★     ★★ 突 破 重 難 點

【范例1】記

（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；

（Ⅱ）求數列的通項公式及數列的前n項和

解析（I）

整理得

（Ⅱ）由

所以

．

【變式】數列中，，（是常數，），且成公比不為的等比數列．（I）求的值；（II）求的通項公式．

解：（I），，，

因為，，成等比數列，所以，解得或．

當時，，不符合題意舍去，故．

（II）當時，由于

，

，

…………

，

所以．

又，，故．當時，上式也成立，

所以

【范例2】設數列的首項．

（1）求的通項公式；（2）設，證明，其中為正整數．

解：（1）由  整理得  ．

又，所以是首項為，公比為的等比數列，得

（2）方法一：    由（1）可知，故．則

又由（1）知且，故，因此  為正整數．

方法二：由（1）可知，

因為，所以  ．

由可得，即  

兩邊開平方得    ．即 為正整數

【變式】已知數列中，對一切自然數，都有且．

求證：(1)；      (2)若表示數列的前項之和，則．

解析： (1)由已知得，

又因為，所以, 因此，即．

(2) 由結論(1)可知  ，即，

于是，即．

【范例3】由坐標原點O向曲線引切線，切于O以外的點P₁，再由P₁引此曲線的切線，切于P₁以外的點P₂），如此進行下去，得到點列{ P_n}}.

求：（Ⅰ）的關系式；

   （Ⅱ）數列的通項公式；

（Ⅲ）（理）當時，的極限位置的坐

解析 （Ⅰ）由題得 

過點P₁（的切線為

過原點

又過點P_n（的

因為過點P_n-1（  

整理得

（Ⅱ）由（I）得

所以數列{x_n-a}是以公比為的等比數列

（Ⅲ）

的極限位置為（

【點睛】注意曲線的切線方程的應用，從而得出遞推式．求數列的通項公式是數列的基本問題，一般有三種類型：（1）已知數列是等差或等比數列，求通項，破解方法：公式法或待定系數法；（2）已知S_n，求通項，破解方法：利用S_n-S_n-1= a_n，但要注意分類討論，本例的求解中檢驗必不可少，值得重視；（3）已知數列的遞推公式，求通項，破解方法：猜想證明法或構造法。

【變式】已知函數f (x)=，數列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f (x)在處的切線與經過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）.

求證：當n時，(Ⅰ)  x （Ⅱ）.

解、 (I ) 證明：因為

所以曲線在處的切線斜率

即和兩點的直線斜率是 以.

（II）因為函數，當時單調遞增，

而，

所以，即   因此

又因為  令  則

因為    所以

因此  故

試題詳情

第五講 等差等比

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．在等差數列中，，則（  A ）

A.       B.          C.        D. -1或1

2.（安徽）直角三角形三邊成等比數列，公比為，則的值為（ D  ）

A.       B.      C.    D.

3.已知數列{}的前項和，第項滿足，則（　B�。�

  A．         B．          C.          D．

4.已知兩個等差數列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數的正整數的個數是（　D�。�

A．2      B．3      C．4      D．5

5.設等差數列的公差不為0，．若是與的等比中項，則（　B　）

Ａ．2      Ｂ．4      Ｃ．6      Ｄ．8

6. 等比數列的前項和為，已知，，成等差數列，則的公比為　　　　　　．

★★★高考要考什么

等差數列的證明方法：1. 定義法：2．等差中項：對于數列，若

等差數列的通項公式：------該公式整理后是關于n的一次函數

等差數列的前n項和 1．     2.     3.

等差中項: 如果，，成等差數列，那么叫做與的等差中項。即：或

等差數列的性質:1．等差數列任意兩項間的關系：如果是等差數列的第項，是等差數列的第項，且，公差為，則有

2.     對于等差數列，若，則。也就是：，

3．若數列是等差數列，是其前n項的和，，那么，，成等差數列。如下圖所示：

4．設數列是等差數列，是奇數項的和，是偶數項項的和，是前n項的和，則有如下性質：

1當n為偶數時，， 2當n為奇數時，則，，

等比數列的判定方法:①定義法：若②等比中項：若，則數列是等比數列。

等比數列的通項公式:如果等比數列的首項是，公比是，則等比數列的通項為。

等比數列的前n項和:1   2   3當時，

等比中項:如果使，，成等比數列，那么叫做與的等比中項。那么。

等比數列的性質:

1．等比數列任意兩項間的關系：如果是等比數列的第項，是等差數列的第項，且，公比為，則有

2.     對于等比數列，若，則也就是：。

3．若數列是等比數列，是其前n項的和，，那么，，成等比數列。如下圖所示：

★     ★★ 突 破 重 難 點

【范例1】是等差數列的前n項和，已知的等比中項為，的等差中項為1，求數列的通項．

解析 由已知得，   即 ，

解得或   或

經驗證  或 均滿足題意，即為所求．

【點睛】若是等差數列的前n項和，則數列也是等差數列．本題是以此背景設計此題．

【變式】已知等差數列｛a_n｝的公差和等比數列｛b_n｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a₁=b₁，a₃=3b₃，a₅=5b₅，求a_n，b_n．

解：由已知①②

由①，得a₁（3d²－1）＝2d          ③

由②，得a₁（5d⁴－1）＝4d          ④

因為d≠0，由③與④得2（3d²－1）＝5d⁴－1， 即5d⁴－6d²＋1＝0，解得d＝±1，d＝±．

∵d＞0，d≠1，∴d＝．代入③，得a₁＝－，故b₁=－.

a_n＝－＋（n－1）＝（n－6），b_n＝－×（）^n－1．

本小題考查等差數列和等比數列的概念、性質，方程（組）的解法以及運算能力和分析能力.

【范例2】下表給出一個“三角形數陣”：

                      ，

                      ，，

                      …  …   …  …

已知每一列的數成等差數列；從第三行起，每一行的數成等比數列，每一行的公比都相等．記第i行第j列的數為a_ij ( i≥j， i， j∈N^*)．

(1) 求a₈₃；

(2) 試寫出a _ij關于i， j的表達式；

(3) 記第n行的和為A_n，求

解析 （1）由題知成等差數列，且，所以公差。

又成等比數列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．　

（2）由（1）知，，∴．　

（3）．

【點睛】在新穎背景――數表中運用數列知識．

【文】在等比數列{a _n}中，前n項和為S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列，則a_m， a_m+2， a_m+1成等差數列

   （1）寫出這個命題的逆命題；（2）判斷逆命題是否為真，并給出證明

解析（１）逆命題：在等比數列{a_n}中，前n項和為S_n，若a_m， a_m+2， a_m+1成等差數列，則 S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列

   （２）設{a_n}的首項為a₁，公比為q.    由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1

    ∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m    ∵a₁≠0  q≠0 ，∴2q²－q－1=0 ，  ∴q=1或q=－

當q=1時，∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2，      ∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數列

當q=－時， ，

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ，     ∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列

綜上得：當公比q=1時，逆命題為假；當公比q≠1時，逆命題為真

【點睛】逆命題中證明需分類討論是本題的亮點和靈活之處．

【變式】等差數列的前項和為．

（Ⅰ）求數列的通項與前項和；

（Ⅱ）設，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

解：（Ⅰ）由已知得，， 故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

    假設數列中存在三項（互不相等）成等比數列，則．

    即．   ，

       ．    與矛盾．

    所以數列中任意不同的三項都不可能成等比數列．

【范例3】若有窮數列（是正整數），滿足即（是正整數，且），就稱該數列為“對稱數列”。

（1）已知數列是項數為7的對稱數列，且成等差數列，，試寫出的每一項

（2）已知是項數為的對稱數列，且構成首項為50，公差為的等差數列，數列的前項和為，則當為何值時，取到最大值？最大值為多少？

（3）對于給定的正整數，試寫出所有項數不超過的對稱數列，使得成為數列中的連續(xù)項；當時，試求其中一個數列的前2008項和

解：（1）設的公差為，則，解得 ，數列為．

（2） ，  

    ，當時，取得最大值為626．

  （3）所有可能的“對稱數列”是：

      ① ；  ② ；

      ③ ； ④ ．

對于①，當時，．   

 當時，

 ．     

 對于②，當時，．當時，．

 對于③，當時，；當時，．

 對于④，當時，；當時，．

 【點睛】在看懂題目意思基礎上，注意各種情況的討論，考察觀察，分析，運用能力

【文】如果有窮數列（為正整數）滿足條件，，…，，即（），我們稱其為“對稱數列”．

例如，數列與數列都是“對稱數列”．

（1）設是7項的“對稱數列”，其中是等差數列，且，．依次寫出的每一項；

（2）設是項的“對稱數列”，其中是首項為，公比為的等比數列，求各項的和；

（3）設是項的“對稱數列”，其中是首項為，公差為的等差數列．求前項的和．

解：（1）設數列的公差為，則，解得 ，

    數列為．   

（2）

           67108861． 

（3）．由題意得 是首項為，公差為的等差數列．

  當時， ．

  當時， 

                      ．

綜上所述，

試題詳情

海南省海南中學2009屆高三第六次月考學科網

政治試題學科網

學科網

第一卷    選擇題（每小題2分，共44分）學科網

1.中國人民銀行發(fā)行了奧運紀念幣，該紀念幣共有金、銀幣各兩種，均為中華人民共和國法定貨幣。該套紀念幣在本質上是：學科網

A、商品        B、紙幣        C、鑄幣         D、一般等價物學科網

2. 就業(yè)是民生之本。解決就業(yè)問題，最根本的措施是要學科網

A、以科學發(fā)展觀統(tǒng)領經濟社會發(fā)展全局 學科網

B、以經濟建設為中心，大力發(fā)展生產力學科網

C、勞動者樹立自主擇業(yè)觀       學科網

D、黨和政府堅持對人民負責的原則學科網

3.  2008年12月10日下午，中國人民銀行召開會議，傳達學習2008年12月8日―10日在京召開的中央經濟工作會議精神，研究部署貫徹落實中央經濟工作會議部署的具體措施。提出綜合運用多種貨幣政策工具，靈活調節(jié)資金供求，這體現出了宏觀調控措施的預見性和前瞻性。這說明： 學科網

A．市場調節(jié)是實現資源優(yōu)化配置的惟一有效形式 學科網

B．市場調節(jié)和宏觀調控是社會主義市場經濟的有機組成部分 學科網

C．社會主義國家能夠實行強有力的宏觀調控 學科網

D．運用行政手段調節(jié)經濟應自覺遵循價值規(guī)律 學科網

4．2008年5月23日，新成立的工業(yè)和信息化部拉開了電信重組序幕。鐵通并入中國移動，中國聯通和中國網通合并為新的中國聯通。電信重組現象說明學科網

A．電信企業(yè)的勞動生產率普遍提高  B．電信企業(yè)的管理水平有待于提高學科網

C．市場競爭是由政府控制的        D．優(yōu)勝劣汰是市場競爭的結果學科網

5．2008年4月21日，小輝以7.00的匯率賣出1000美元，并將換得的人民幣存入銀行，存期為一年，年利率為2.25%，利息稅率為5%，理論上存款到期應得本息為學科網

A．7157.5元     B．7000元    C．7149.6元        D．6850.4元 學科網

6、2009年要繼續(xù)加大對“三農”、就業(yè)、社會保障、教育、醫(yī)療、節(jié)能減排、自主創(chuàng)新、先進裝備制造業(yè)、服務業(yè)、中小企業(yè)、重大改革等方面的支持力度，加大對低收入家庭的補貼和救助力度，這一系列舉措的最主要任務和目標是：       學科網

A.增加就業(yè)     B.穩(wěn)定物價     C.促進經濟增長      D.保持財政收支平衡學科網

7、以上舉措表明：       學科網

A、國家機構堅持依法治國原則 學科網

B、我國人民民主專政的國家性質和中國共產黨的性質學科網

C、中國共產黨堅持民主集中制原則 學科網

D、中國共產黨履行經濟管理和公共服務的職能 學科網

8. 陽光財政、民主財政再次成為政府打造陽光政府、民主政府的標志。陽光、民主財政，即公共財政的決策，執(zhí)行的程序、資金的流向都必須公開，人大代表可以對其進行監(jiān)督。這學科網

①體現了人民民主專政的本質    ②體現人大與政府之間監(jiān)督與被監(jiān)督的關系學科網

③說明人民民主權利的日益擴大  ④保證中央和地方國家權力的統(tǒng)一學科網

A、①②        B、①③          C、②③        D、③④學科網

9.目前，近17萬名宗教界人士進入中國各級人民代表大會和政治協(xié)商會議，每年就國家經濟社會發(fā)展和宗教自身建設提出大量建議。這表明 學科網

A．信教群眾與不信教群眾享有平等的政治權利   學科網

B．宗教已與社會主義社會完全相適應學科網

C．我國公民享有宗教信仰的自由   學科網

D．我國堅持政教合一原則，宗教與國家政權緊密結合學科網

10. 2008年８月8日，北京奧運會開幕的夜晚，全球幾十億電視觀眾聆聽三千儒生吟誦中國先哲孔子的名句――“四海之內，皆兄弟也”，“有朋自遠方來，不亦樂乎”；與此同時，三種字體的巨大漢字“ 和”依次呈現。上述材料符合我國外交政策的內容，具體體現為（   ）學科網

①外交政策的基本立場                       ②外交政策的基本目標 學科網

③外交政策的基本準則                       ④外交政策的基本立足點學科網

A、①②          B、①③           C、③④          D、②③學科網

11．全國各級政府都在網上開設“糾風之窗”�！凹m風之窗”主要針對當前群眾反映強烈的上學難、上學貴、和看病難、看病貴的問題，收集群眾的意見，方便群眾監(jiān)督。對此，公民對國家機關及其工作人員進行監(jiān)督的行之有效的重要途徑是學科網

A． 參加聽證會                    B．通過檢察機關進行監(jiān)督  學科網

C．直接在政府開設的網上進行舉報   D．通過網站了解政府信息學科網

我們《文化生活》中所講的“文化”既不同于廣義的“文化”，也不同于狹義的“文化”，是建設中國特色社會主義文化中的“文化”。學科網

12、我們所講的“文化”包括學科網

①語言和文字                 ②自然科學和科技學科網

③自然現象和社會現象         ④物質成果和精神成果學科網

⑤文學藝術和科學知識         ⑥世界觀、人生觀和價值觀學科網

A．①②③      B．①②④⑤       C．①②⑤       D．①②⑤⑥學科網

13、《西游記》是我國著名的神話小說，其中塑造出的一系列栩栩如生的文學形象，如孫悟空、豬八戒以及牛魔王等，都給人們留下了很深的印象。但這些神話形象都可以從人們的生活實踐中找到各自的影子。如果人們在實踐中根本就沒有遇見過猴、豬與牛等動物，作者吳承恩是無論如何也不可能把這些形象描繪出來的。這說明學科網

A．文化是對神的描繪           B．文化是神的恩賜學科網

C．文化是社會實踐的產物       D．文化是動物的反映學科網

學科網

14、中央電視臺的《百家講壇》欄目，邀請當代中國文化名人擔當“電視說書人”，把那些大眾較難理解的古書典故講解得深入淺出、通俗易懂，很受廣大觀眾，出現了近年難得一見的“于丹現象”、“易中天現象”。這說明    學科網

①大眾傳媒的發(fā)展給文化傳播帶來了可喜的變化   ②只有不斷創(chuàng)新，傳統(tǒng)文化才能煥發(fā)生機和活力    ③傳統(tǒng)文化的價值取決于大眾傳媒的發(fā)展         ④文化發(fā)展面向人民群眾，才能為人民群眾所喜聞樂見學科網

A、①②        B、③④      C、①②④      D、②③④學科網

15、春節(jié)是我國十幾個民族共同的盛大節(jié)日，但各民族過春節(jié)的形式各有不同，如漢族在除夕夜要合家吃年夜飯，長輩給未成年的孩童“壓歲錢”；布依族的除夕夜，全家人圍坐在火塘旁，整夜守歲；藏族則在除夕之夜，舉行盛大的“跳神會”，人們戴上假面具載歌載舞，以示除舊迎新，祛邪降福等等。這表明 學科網

①中華文化博大精深            ② 中華文化源遠流長學科網

③ 我國民族文化的多樣性       ④文化的豐富多彩反映了經濟的繁榮學科網

A、①②        B、③④        C、①③        D、②③④學科網

16、回顧改革開放30年中國經濟的發(fā)展歷程，從“有水快流”到“又快又好”，到“又好又快”，到“好字優(yōu)先”，到“保增長”，這一認識過程表明：學科網

A、先進的科學的社會意識對社會存在起推動作用 學科網

B、事物的變化發(fā)展是內因和外因共同作用的結果 學科網

C、想問題、辦事情必須堅持一切從實際出發(fā) 學科網

D、我們黨對社會主義現代化建設客觀規(guī)律認識不斷深化學科網

學科網

2008年4月18日，連接環(huán)渤海地區(qū)和長江三角洲兩大經濟圈的京滬高速鐵路宣告全線開工。回答17―18題。學科網

17．京滬高速鐵路的建成，將使我國東部地區(qū)的交通運輸體系更加完善，為廣大旅客提供更加豐富的運輸產品，從而滿足不同層次旅客的出行需要，同時將極大地改變人們的時空觀念，使鐵路旅客運輸發(fā)生革命性的變化。這表明學科網

①人們可以根據事物固有的聯系建立新的具體的聯系學科網

②社會存在決定社會意識，社會意識是社會存在的反映   學科網

③充分發(fā)揮主觀能動性，可以認識和改造規(guī)律學科網

④發(fā)展的實質是事物狀態(tài)和根本性質發(fā)生變化學科網

A．①②              B．③④           C．①③          D．②④學科網

18．京滬高速鐵路項目總投資規(guī)模為2209億元。除國家投入外，將通過銀行貸款、發(fā)行企業(yè)債券和股票等多種方式募集資金。下列對債券和股票的認識，不正確的是學科網

①債券與股票相比，具有風險小、收益高的特點學科網

②債券是籌資者給投資者的債務憑證，反映債務關系    學科網

③股票是經濟結算中常用的一種信用工具學科網

④股票價格與股息收入成正比，與銀行利率成反比學科網

 A．①④          B．②③         C．①③        D．②④學科網

19．溫家寶總理在回答中外記者提問時，引用“天變不足畏，祖宗不足法，人言不足恤”來強調解放思想的重要性。解放思想是學科網

  ①唯物主義的根本觀點        ②一切從實際出發(fā)的要求學科網

  ③與實事求是相統(tǒng)一的        ④我們必須堅持的思想路線的內容之一學科網

A．②③       B．③④        C．①③④         D．②③④學科網

20．張景中院士在其著作《數學與哲學》中指出，哲學在任何具體學科領域都無法與該學科一爭高下，但是它可以從事任何具體學科無法完成的工作，它為學科的誕生準備條件。上述材料說明（    ）學科網

A．具體科學是哲學的基礎，具體科學的進步推動著哲學的發(fā)展   學科網

B．哲學是“科學之科學”學科網

C．哲學是人類對某一具體領域規(guī)律的概括和總結      學科網

D．哲學對具體科學研究起指導作用學科網

21．日趨嚴峻的金融危機給我國經濟的發(fā)展帶來了不少困難，但也給我國加快結構升級、引進國外先進技術和人才等帶來了新的機遇。有專家感言。金融危機是“危”與“機”并存。下列與此包含相同哲理的是(    )學科網

    A．艱難困苦，玉汝于成                      B．千里之行，始于足下學科網

    C．福兮，禍之所伏；禍兮，福之所倚          D．前事不忘，后事之師學科網

22. 在高三復習階段每天都有諸多的學習任務等待我們去完成，這常常讓我們手忙腳亂。如果善于按照下圖所示將我們的學習任務進行管理，并按一定的順序完成任務，就會大大提高學習的效率。這種做法主要體現了學科網

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