1. 設(shè)A是集合S={1, 2, 3, ..., 1000000}的一個(gè)101元子集，求證： 存在S中的100個(gè)元素T₁ ,T₂ ,...,T₁₀₀ 使得集合

A_j={X+T_j | X 屬于 A} （j=1,2,...,100）

是兩兩不交的。

2. 求所有的正整數(shù)對(duì)(a,b)，使得 a²/(2ab²-b³+1)也為整數(shù)。

3. 一凸六邊形，任意一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線是這組對(duì)邊長度之和的√3/2 倍，求證這個(gè)六邊行的
每個(gè)內(nèi)角都是120^o。

4. 圓內(nèi)接四邊形ABCD，從D向分別邊BC,CA,AB引垂線，垂足分別為P，Q，R。求證：
PQ=QR當(dāng)且僅當(dāng)∠ABC、∠ADC的角平分線及AC三線共點(diǎn)。

5. 設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，x₁,x₂,...,x_n是實(shí)數(shù)并且x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n,求證：

6. 設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)，求證存在一個(gè)素?cái)?shù)q使得對(duì)每個(gè)整數(shù)n，n^p-p不能被q整除。

試題詳情

1. 設(shè)n是給定的正整數(shù)，T是一個(gè)集合，其元素是平面上滿足x,y是非負(fù)整數(shù)且x+y<n的點(diǎn)(x,y)。T中的點(diǎn)均被染上紅色或藍(lán)色，滿足：如果(x,y)是紅色，則所有滿足x'≤x且y'≤y的點(diǎn)(x',y')也都染成紅色。如果n個(gè)藍(lán)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同，則稱由這n個(gè)藍(lán)點(diǎn)組成的集合為一個(gè)X-集；如果n個(gè)藍(lán)點(diǎn)的縱坐標(biāo)各不相同，則稱這n個(gè)藍(lán)點(diǎn)所組成的集合為Y-集。

求證：X-集的個(gè)數(shù)和Y-集的個(gè)數(shù)相同。

2. BC為圓O的直徑，A為⊙O上的一點(diǎn)，0^o<∠AOB <120^o, D是弧AB（不含C的�。┑闹悬c(diǎn)，過O平行于DA的直線交AC 于I，OA的垂直平分線交⊙O于E、F，

求證：I是△CEF的內(nèi)心。

3. 找出所有的正整數(shù)對(duì)m,n≥3，是的存在無窮多個(gè)正整數(shù)a，使(a^m +a-1)/(aⁿ +a²-1)為整數(shù)。

4. 設(shè)n為大于1的整數(shù)，全部正因數(shù)為d₁,d₂,...,d_k， 其中1=d₁ < d₂ < ... < d_k=n，

記D=d₁d₂+d₂d₃+...+d_k-1d_k。

5. 找出所有從實(shí)數(shù)集R到R的函數(shù)f，使得對(duì)所有x,y,z∈R，有

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。

6. 設(shè)Γ₁，Γ₂，...,Γ_n是平面上半徑為1的圓，其中n≥3，記他們的圓心分別為O₁,O₂,...,O_n。假設(shè)任意一條直線都至多和兩個(gè)圓相交或相切，

求證：

∑_i<j 1/O_iO_j ≤ (n-1)π/4 。

試題詳情

1. △ABC是銳角三角形，其外接圓的圓心是O。X是從A到BC邊上垂線的垂足。
已知∠C≥∠B+30^o，

求證：∠A+∠COX<90^o。

2. a,b,c是正實(shí)數(shù)，設(shè)a' = √(a² + 8bc), b' = √(b² + 8ca), c' = √(c² + 8ab)，

求證： a/a' + b/b' + c/c' ≥ 1。

3. 由整數(shù)組成的一個(gè)21×21的矩陣，其每行每列都至多有6個(gè)不同的整數(shù)。

求證，存在某個(gè)整數(shù)出現(xiàn)在至少3行和3列中。

4. 設(shè)n₁,n₂,...,n_m是整數(shù)，其中m是奇數(shù)。x=(x₁,x₂,...,x_m)是1,2,...,m的一個(gè)排列，

f(x)=x₁n₁+x₂n₂+...+x_mn_m， 

求證，存在兩個(gè)不同的排列a,b使得f(a)-f(b)能被m!整除。

5. △ABC，X在BC上且AX是∠A的角平分線，BY是∠B的角平分線，Y在CA上。已知∠A=60^o， AB+BX=AY+YB，試求出所有∠B可能的值。

6. K>L>M>N是正整數(shù)且KM+LN=(K+L-M+N)(-K+L+M+N)。

求證KL+MN是合數(shù)。

試題詳情

1. 圓Γ₁和圓Γ₂相交于點(diǎn)M和N。設(shè)l是圓Γ₁和圓Γ₂的兩條公切線中距離M較近的那條公切線。l與圓Γ₁相切于點(diǎn)A，與圓Γ₂相切于點(diǎn)B。設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M且與l平行的直線與圓Γ₁還相交于點(diǎn)C，與圓Γ₂還相交于點(diǎn)D。直線CA和DB相交于點(diǎn)E；直線AN和CD相交于點(diǎn)P；直線BN和CD相交于點(diǎn)Q。

求證：EP=EQ。

2. 設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，且滿足abc=1。求證：

(a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≤ 1。

3. 設(shè)n≥2為正整數(shù)。開始時(shí)，在一條直線上有n只跳蚤，且它們不全在同一點(diǎn)。
對(duì)任意給定的一個(gè)正實(shí)數(shù)λ，可以定義如下的一種“移動(dòng)”：

試確定所有可能的正實(shí)數(shù)λ， 使得對(duì)于直線上任意給定的點(diǎn)M以及這n只跳蚤的任意初始位置，總能夠經(jīng)過有限多個(gè)移動(dòng)之后令所有的跳蚤都位于M的右邊。

4. 一位魔術(shù)師有一百張卡片，分別寫有數(shù)字1到100. 他把這一百張卡片放入三個(gè)盒子里，一個(gè)盒子是紅色的，一個(gè)是白色的，一個(gè)是藍(lán)色的。 每個(gè)盒子里至少都放入了一張卡片。 一位觀眾從三個(gè)盒子中挑出兩個(gè)，再從這兩個(gè)盒子里各選取一張卡片， 然后宣布這兩張卡片上的數(shù)字之和。知道這個(gè)和之后，魔術(shù)師便能夠指出哪一個(gè)是沒有從中選取卡片的盒子。 

問共有多少種放卡片的方法，使得魔術(shù)總能夠成功？（兩種方法被認(rèn)為是不同的，如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子）

5. 確定是否存在滿足下列條件的正整數(shù)n：n恰好能夠被2000個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)整除，且2n+1能夠被n整除。

6. 設(shè)AH₁,BH₂,CH₃是銳角三角形ABC的三條高線。 三角形ABC的內(nèi)切圓與邊BC, CA, AB分別相切于點(diǎn)T₁, T₂, T₃，設(shè)直線l₁,l₂,l₃分別是直線H₂H₃, H₃H₁, H₁H₂關(guān)于直線T₂T₃, T₃ T₁, T₁T₂的對(duì)稱直線。
求證：l₁,l₂,l₃所確定的三角形，其頂點(diǎn)都在三角形ABC的內(nèi)切圓上。

試題詳情

1. 試找出所有這樣的有限集S：S至少包括平面上的3個(gè)點(diǎn)；對(duì)任何兩個(gè)S中不同的點(diǎn)A,B，
AB的垂直平分線是S的一個(gè)對(duì)稱軸。

2. 設(shè)n ≥ 2是一個(gè)給定的整數(shù)，是找出最小的常量C使得對(duì)于所有非負(fù)實(shí)數(shù)x₁, ... , x_n如下不等式成立：

∑_i<j x_i x_j (x_i² + x_j²) ≤ C ( ∑ x_i )⁴。

并判斷何時(shí)等號(hào)成立。

3. 給定一個(gè)n×n的棋盤，n是偶數(shù)。如果這個(gè)棋盤中的兩個(gè)不同的小方格有一個(gè)公共邊就說他們是相鄰的，但同一個(gè)方格不認(rèn)為與它自身相鄰。試找出最小數(shù)目的方格，使得當(dāng)它們被標(biāo)記之后，棋盤上每一個(gè)方格都至少與一個(gè)標(biāo)記過的方格相鄰。

4. 試找出所有的正整數(shù)對(duì)(n,p)，使得p是素?cái)?shù)，n ≤ 2p并且(p-1)ⁿ+1可被n^p-1整除。

5. 圓Γ有兩個(gè)內(nèi)切圓Γ₁ ,Γ₂，切點(diǎn)分別是M,N，Γ₁經(jīng)過Γ₂的圓心。
Γ₁,Γ₂的公共弦的延長線交Γ于A,B兩點(diǎn)。線MA,MB分別交Γ₁分別于E,F。
求證：EF于Γ₂相切。

6. 試找出所有的函數(shù)f:R → R使得f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1對(duì)所有x,y ∈ R都成立。

其中R表示實(shí)數(shù)集。

試題詳情

1.  設(shè)a、b是常數(shù)，解方程組

x + y + z = a;     x² + y² + z² = b²;     xy=z²

并求出若使x、y、z是互不相同的正數(shù)，a、b應(yīng)滿足什么條件？

2.  設(shè)a、b、c是某三角形的邊，A 是其面積，求證：

a² + b² + c² >= 4√3 A.

并求出等號(hào)何時(shí)成立。　

3.  解方程 cosⁿx - sinⁿx = 1, 其中n是一個(gè)自然數(shù)。

4.  P是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求證AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不小于2。

5.  作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，銳角AMB = a,其中M是線斷BC的中點(diǎn)。求證這個(gè)三角形存在的充要條件是

b tan(a/2) <= c < b.

又問上式何時(shí)等號(hào)成立。

6. 三個(gè)不共線的點(diǎn)A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一側(cè)。在p上任意取三個(gè)點(diǎn)A', B', C'， A'', B'', C''設(shè)分別是邊AA', BB', CC'的中點(diǎn)，O是三角形A''B''C''的重心。問，當(dāng)A',B',C'變化時(shí)，O的軌跡是什么？

試題詳情

1. 凸四邊形ABCD，對(duì)交線AC,BD互相垂直，對(duì)邊AB,DC不平行，AB和DC的垂直平分線相交于
P點(diǎn)，P在ABCD的內(nèi)部。

求證ABCD是圓內(nèi)接四邊形當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP、CDP的面積相等。

2. 在一次競賽中有a個(gè)參賽者和b個(gè)裁判，b≥3是一個(gè)奇數(shù)。每個(gè)裁判可以給參賽者判“合格”或者
“不合格”，假設(shè)任何兩個(gè)裁判對(duì)至多k個(gè)參賽者的判決相同，
求證：k/a  ≥  (b-1)/2b.

3. 對(duì)任何正整數(shù)n，用d(n)表示n的正因數(shù)（包括1,n）的個(gè)數(shù)。
試求出所有正整數(shù)k使存在n滿足 d(n²)=kd(n).

4. 試找出所有的正整數(shù)對(duì)(a,b)使得ab²+b+7能整除a²b+a+b。

5. 設(shè)I是三角形 ABC的內(nèi)心，三角形 ABC的內(nèi)切圓在邊BC,CA,AB上的切點(diǎn)分別是K,L,M。
通過B點(diǎn)平行于MK的直線交LM,LK分別于R,S。

求證：三角形 RIS是銳交三角形。

6. 考慮所有從正整數(shù)到正整數(shù)的函數(shù)f使之對(duì)于所有的s、t滿足f(t²f(s))=sf(t)²。
試求出f(1998)的最小的可能值。

試題詳情

1. 在坐標(biāo)平面上，具有整數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成單位邊長的正方格的頂點(diǎn)。這些正方格被涂上黑白相間的兩種顏色（像棋盤一樣）。對(duì)于任意一對(duì)正整數(shù)m和n，考慮一個(gè)直角三角形其頂點(diǎn)具有整數(shù)坐標(biāo)，兩腰長分別為m和n，且其兩腰都在這些正方格的邊上。 設(shè)S₁為這個(gè)三角形區(qū)域中所有黑色部分的總面積，S₂則為所有白色部分的總面積。 令f(m,n)=|S₁-S₂|，

2. 設(shè)∠A是△ABC中最小的?角。B和C將此三角形的外接圓分成兩個(gè)弧。U為落在不含A點(diǎn)的弧上且異于B,C的一點(diǎn)。線段AB,AC的垂直平分線分別交AU于V,W。
直線BV, CW相交于T，

求證：AU＝TB＋TC。

3. x₁,x₂,...,x_n是正實(shí)數(shù)滿足|x₁+x₂+...x_n|=1 且對(duì)所有i有|x_i|≤(n+1)/2。

試證明存在x₁,x₂,...,x_n的一個(gè) 排列y₁,y₂,...,y_n滿足

|y₁+2y₂+...+ny_n|≤(n+1)/2。 

4. 一個(gè)n×n的矩陣稱為一個(gè)n階“銀矩陣”，如果它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且對(duì)于每一個(gè)i=1,2，...,n，它的第i列與第i行中的所有元素合起來恰好是S中的所有元素。求證：

5. 試找出所有的正整數(shù)對(duì)(a,b)滿足

a

b²

=

b

a

6. 對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，將n表示成2的非負(fù)整數(shù)次方之和，令f(n)為正整數(shù)n的上述不同表示法的個(gè)數(shù)。如果倆個(gè)表示法的差別僅在于他們中各個(gè)數(shù)相加的次序不同，這兩個(gè)表示法就被視為是相同的。例如，f(4)=4，因?yàn)?恰有下列四種不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1。

求證：對(duì)于任意整數(shù)n≥3，  

2

n²/4

< f(2ⁿ)<

2

n²/2

試題詳情

1. ABCD是一個(gè)長寬分別是AB=20,BC=12的長方形板。將此長方形板分割為20×12個(gè)格子狀的單位小方格，r為一給定的正整數(shù)，一個(gè)銅幣在此板上每移動(dòng)一次的規(guī)則為：銅幣可從一個(gè)小方格內(nèi)移動(dòng)到另一個(gè)小方格內(nèi)的充分必要條件是這兩個(gè)小方格的中點(diǎn)間的距離為√r。現(xiàn)目標(biāo)是把一個(gè)在含頂點(diǎn)A的小方格內(nèi)的銅幣經(jīng)過若干次移動(dòng)后到達(dá)含頂點(diǎn)B的小方格內(nèi)。

2. P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)且∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC，設(shè)D,E分別是∠APB,∠APC的內(nèi)心，

求證：AP,BD,CE三線共點(diǎn)。

3. S={0,1,2,3,...}為所有非負(fù)整數(shù)所成的集合，試找出所有由S對(duì)應(yīng)到S本身的函數(shù)f且對(duì)m,n∈S 有f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)。

4. 正整數(shù)a,b使得15a+16b和16a-15b都是完全平方數(shù)，試求出最小的可表示成這兩個(gè)完全平方數(shù)之一的可能值。

5. ABCDEF是凸六邊形，AB平行于ED，BC平行于FE，CD平行于AF。 令R_A,R_C,R_E分別表示△FAB,△BCD,△DEF的外接圓的半徑，并以p表示該六邊形的周長。

求證：R_A+R_C+R_E≥p/2。

6. n,p,q都是正整數(shù)且n>p+q，令x₀,x₁,x_n都是整數(shù)，x₀=x_n=0且對(duì)每個(gè)1≤i≤n，x_i-x_i-1=p或q。 

求證存在下標(biāo)i<j且(i,j)≠(0,n)滿足x_i=x_j。

試題詳情

1. A,B,C,D是一條直線上順序排列的四個(gè)不同點(diǎn)，分別以AC,BD為直徑的兩個(gè)圓相交于X,Y，直線XY交BC于Z， 設(shè)P為直線XY上異于Z的一點(diǎn)，直線CP與以AC為直徑的圓相交于C,M； 直線BP與以BD為直徑的圓相交于B,N。求證：AM,DN,XY三線共點(diǎn)。

2. a,b,c為正實(shí)數(shù)且abc=1，試證：

1

+

1

+

1

≥

3

a³(b+c)

b³(c+a)

c³(a+b)

2

3. 試確定所有整數(shù)n>3，使得在平面上存在n個(gè)點(diǎn)A₁,A₂， ...,A_n（無三點(diǎn)共線）及n個(gè)實(shí)數(shù)r₁,r₂,...,r_n滿足 △A_iA_jA_k的面積是r_i+r_j+r_k， 其中是對(duì)每個(gè)三元組1≤i<j<k≤n。

4. 正實(shí)數(shù)序列x₀,x₁,...,x₁₉₉₅滿足條件 x₀=x₁₉₉₅且對(duì)于i=1,2,...,1995有x_i-1+2/x_i-1=2x_i +1/x_i.
試求出所有滿足上述條件的數(shù)列中x₀的最大值。

5. 設(shè)ABCDEF是凸六邊形，滿足AB=BC=CD, DE=EF=FA，∠BCD=∠EFA=60^o。 設(shè)G,H是這六邊形內(nèi)部兩點(diǎn)使得∠AGB=∠DHE=120^o，

求證 AG+GB+GH+DH+HE≥CF。

6. p是一個(gè)奇質(zhì)數(shù)，試求出集合{1,2,...,2p}的所有p元子集A的個(gè)數(shù)滿足A中元素之和能被p整除。

試題詳情