1. 圓Γ₁和圓Γ₂相交于點(diǎn)M和N。設(shè)l是圓Γ₁和圓Γ₂的兩條公切線中距離M較近的那條公切線。l與圓Γ₁相切于點(diǎn)A，與圓Γ₂相切于點(diǎn)B。設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M且與l平行的直線與圓Γ₁還相交于點(diǎn)C，與圓Γ₂還相交于點(diǎn)D。直線CA和DB相交于點(diǎn)E；直線AN和CD相交于點(diǎn)P；直線BN和CD相交于點(diǎn)Q。

求證：EP=EQ。

2. 設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，且滿足abc=1。求證：

(a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≤ 1。

3. 設(shè)n≥2為正整數(shù)。開始時(shí)，在一條直線上有n只跳蚤，且它們不全在同一點(diǎn)。
對(duì)任意給定的一個(gè)正實(shí)數(shù)λ，可以定義如下的一種“移動(dòng)”：

試確定所有可能的正實(shí)數(shù)λ， 使得對(duì)于直線上任意給定的點(diǎn)M以及這n只跳蚤的任意初始位置，總能夠經(jīng)過有限多個(gè)移動(dòng)之后令所有的跳蚤都位于M的右邊。

4. 一位魔術(shù)師有一百?gòu)埧ㄆ�，分別寫有數(shù)字1到100. 他把這一百?gòu)埧ㄆ�放入三個(gè)盒子里，一個(gè)盒子是紅色的，一個(gè)是白色的，一個(gè)是藍(lán)色的。 每個(gè)盒子里至少都放入了一張卡片。 一位觀眾從三個(gè)盒子中挑出兩個(gè)，再?gòu)倪@兩個(gè)盒子里各選取一張卡片， 然后宣布這兩張卡片上的數(shù)字之和。知道這個(gè)和之后，魔術(shù)師便能夠指出哪一個(gè)是沒有從中選取卡片的盒子。 

問共有多少種放卡片的方法，使得魔術(shù)總能夠成功？（兩種方法被認(rèn)為是不同的，如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子）

5. 確定是否存在滿足下列條件的正整數(shù)n：n恰好能夠被2000個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)整除，且2n+1能夠被n整除。

6. 設(shè)AH₁,BH₂,CH₃是銳角三角形ABC的三條高線。 三角形ABC的內(nèi)切圓與邊BC, CA, AB分別相切于點(diǎn)T₁, T₂, T₃，設(shè)直線l₁,l₂,l₃分別是直線H₂H₃, H₃H₁, H₁H₂關(guān)于直線T₂T₃, T₃ T₁, T₁T₂的對(duì)稱直線。
求證：l₁,l₂,l₃所確定的三角形，其頂點(diǎn)都在三角形ABC的內(nèi)切圓上。