復(fù)雜線段比例式和等積式證明舉例

王仁宏

    義務(wù)教育初中幾何第二冊(cè)對(duì)簡(jiǎn)單的線段比例式和等積式做了一些簡(jiǎn)單介紹。但同學(xué)們解題中還會(huì)遇到一些復(fù)雜的線段比例式和等積式的證明。

    例如

    等，證明這些等式的思想是將它們轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的比例式和等積式加以證明，下面舉例說(shuō)明這種證題思路。

一. 型等式的證明

    例1. 如圖1所示，在△ABC中，∠A的平分線交BC于P，∠A的外角平分線交BC延長(zhǎng)線于Q，O是PQ之中點(diǎn)。

圖1

    求證：

    證明：因?yàn)锳P平分

    又因?yàn)镺是斜邊PQ之中點(diǎn)，連AO，得OA=OP。因?yàn)?/p>

    例2. 如圖2所示，已知△ABC中，DF⊥BC于F。

    求證：

圖2

    證明：

二. 型等式的證明

    例3. 如圖3所示，已知一直線截△ABC的邊AB，AC和BC的延長(zhǎng)線于F、E、D。

    求證：

圖3

    證明：過(guò)點(diǎn)C作CG//FD，交AB于G。

三. 型等式的證明

    例4. 如圖4所示，已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)O作EF、QP、GH分別平行于BC、CA、AB。

    求證：

圖4

    分析：求證的是三個(gè)比的和為1，只要求得與這三個(gè)比的分母是同一條線段，并且分子線段的和等于分母線段即可。

    證明：在中，

    在△ABC和△GOF中，

四. 型等式的證明

    例5. 如圖5所示，在銳角△ABC中，高線BE與CF相交于H，

    求證：。

圖5

    分析：求證式中的右端有線段的積，這使我們聯(lián)想到如能創(chuàng)造出相似三角形，則會(huì)有對(duì)應(yīng)線段成比例，就會(huì)出現(xiàn)線段的乘積式，為此添輔助線于D，則出現(xiàn)相似三角形，而求證式中的右端均為相似三角形的邊，故可從相似三角形開(kāi)始證明。

    證明：過(guò)H作交BC于D。

    則

    即         （1）

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 四邊形轉(zhuǎn)化為三角形解題三例

徐若翰

    例1. 某片綠地的形狀如圖1所示，其中，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的長(zhǎng)。

圖1

    分析：延長(zhǎng)AD、BC交于E點(diǎn)，

    則

    由此可見(jiàn)，延長(zhǎng)一組對(duì)邊，就把原四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)含有特殊角的直角三角形。

    例2. 如圖2是一塊四邊形的薄鋼板，AB=AD。（1）能否先沿一條對(duì)角線將鋼板切割成兩塊，再焊接成一塊與原鋼板面積相同的三角形鋼板？若能，請(qǐng)說(shuō)明切割、焊接的方法，用虛線畫(huà)出示意圖，并說(shuō)明焊接的鋼板是什么三角形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若BC=1m，CD=3m，求這塊鋼板的面積。

圖2

    分析：（1）由已知，

    得

    沿對(duì)角線AC切割后，把放在AB兩側(cè)，使AD與AB重合，點(diǎn)C落到點(diǎn)，再重新焊接。這時(shí)，

    所以，把繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到，就使原四邊形轉(zhuǎn)化為，

    其中，且有：

    （2）

    于是可以求得，也就是鋼板面積。

    例3. 如圖3，在四邊形ABCD中，

，試求四邊形ABCD的面積S。

圖3

    分析：延長(zhǎng)BA、CD交于E點(diǎn)，作中，

    又可證得F為AE中點(diǎn)，

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 含“…”的有理數(shù)加法

譚詠梅  楊春雪

    含省略號(hào)的有理數(shù)加法，常用的方法和技巧有如下幾種。

一、“順寫(xiě)”加“倒寫(xiě)”

    例1. 計(jì)算               解：設(shè)

    再把S倒過(guò)來(lái)寫(xiě)：

    相加得：   

二、正負(fù)結(jié)合

    例2. 計(jì)算

    解：原式

三、裂項(xiàng)相加

    例3. 計(jì)算

    解：注意到

    ∴原式

四、加倍相減

    例4. 計(jì)算                        解：令原式

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 去掉“如圖”，變化多

韓曉宏

    一個(gè)幾何問(wèn)題，如果給出了圖形，那么除了直觀這一功能之外，還可能限制人們更廣泛的自由思考。下面就是一例：

    如圖1，⊙和⊙都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與⊙交于C，與⊙交于點(diǎn)D。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與⊙交于點(diǎn)E，與⊙交于點(diǎn)F。

    求證：CE∥DF

（初三《幾何》第83頁(yè)）

    證明：連結(jié)AB

    因?yàn)?ABEC是⊙的內(nèi)接四邊形

    所以 ∠BAD＝∠E

    又 ADFB是⊙的內(nèi)接四邊形

    所以 ∠BAD＋∠F＝180°

    所以 ∠E＋∠F＝180°

    故 CE∥DF

    這個(gè)題并不難，但是，若去掉“如圖”二字，然后依據(jù)題意畫(huà)圖，便可發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足要求的圖形還不少：

    （1）公共弦兩邊各有兩點(diǎn)（三種，第一種如圖1，與課本圖相同）。

    （2）公共弦兩邊分別有一個(gè)點(diǎn)和三個(gè)點(diǎn)（兩種）。

    （3）四個(gè)點(diǎn)全在公共弦的同一側(cè)（兩種）。

    不管是哪一種情況，都可以通過(guò)連結(jié)AB，這條輔助線做出（當(dāng)然也有其它方法），用到的其它知識(shí)點(diǎn)也與圖1中的大同小異。但要構(gòu)造出這些圖形，尤其是通過(guò)分類(lèi)來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題，無(wú)疑可以訓(xùn)練思維；而且在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)一下包含的數(shù)學(xué)思想也十分重要。事實(shí)上，不少數(shù)學(xué)題目都可以用類(lèi)似的方法進(jìn)行更深一步的研究。尤其是一些幾何題，自由地變一下圖形，自由地?fù)Q一下條件，都可以得到一些新的東西，這也是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)研究數(shù)學(xué)，深入探究的一個(gè)好方法。

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 列代數(shù)式五點(diǎn)注意

張?zhí)��?/p>

    人教版教材初一代數(shù)把像5、a、4a、ab、a+b、、a²這樣的式子稱(chēng)之為是代數(shù)式。列代數(shù)式就是將文字?jǐn)⑹龅恼Z(yǔ)言表達(dá)成數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，列出代數(shù)式后廣泛應(yīng)用。這里我來(lái)談?wù)劻写鷶?shù)式時(shí)五點(diǎn)應(yīng)注意的地方。

    一. 仔細(xì)辨別詞義

    列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義。如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分。例：“3除a”，“被3除得a”，“a與b兩數(shù)的平方差”，“a與b兩數(shù)差的平方”，分別為“”、“  3a”、a²-b²、(a-b)²。

    二. 分清數(shù)量關(guān)系

    要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系。如比m大3的數(shù)應(yīng)為m+3；比一個(gè)數(shù)大3的數(shù)是m，則這個(gè)數(shù)為m-3；一個(gè)數(shù)是a的3位，這個(gè)數(shù)為3a；a是這個(gè)數(shù)的3倍，這個(gè)數(shù)為。不要見(jiàn)多就加，見(jiàn)小就減，見(jiàn)倍就乘。

    三. 注意運(yùn)算順序

    列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫(xiě)，如a的2倍與b的3倍的差，為2a-3b，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái)，如a與b的差的3倍，為3（a-b）。

    四. 規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式

    列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書(shū)寫(xiě)。像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫(xiě)，數(shù)與數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào)；除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶 分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書(shū)寫(xiě)單位名稱(chēng)什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)。注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用。

    五. 正確進(jìn)行代換

    列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換。如圖，寫(xiě)出圖中陰影部分面積的代數(shù)式為ab-（a-2x）（b-2x）。其中a與b分別表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，（a-2x）與（b-2x）分別表示小空白長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬�！�

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 分類(lèi)討論在相似形中的應(yīng)用

馬健

    在我們的幾何題目中，有許多問(wèn)題需要分類(lèi)討論，常因不會(huì)分類(lèi)、分類(lèi)不確切或討論不全面發(fā)生漏解。只有全面掌握基礎(chǔ)知識(shí)和經(jīng)過(guò)嚴(yán)密思考，找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)，才能使得出的結(jié)論不重復(fù)、不遺漏。下面就相似形中的幾個(gè)問(wèn)題加以說(shuō)明。

  例1. 已知兩數(shù)4和8，試寫(xiě)出第三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，則第三個(gè)數(shù)為_(kāi)____________。

    析：這是一道開(kāi)放性題目，它需分幾種情況討論。不妨設(shè)第三個(gè)數(shù)為x，

    由可得；

    由得；

    由可得。

    故第三個(gè)數(shù)為2，或16，或。

  例2. 若，求x的值。

    析：利用合比性質(zhì)，當(dāng)，此時(shí)

    又當(dāng)時(shí)，可得出

    此時(shí)

    故x的值為，或。

  例3. 要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4、5、6，另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為2，怎樣選料，可使這兩個(gè)三角形相似。

    析：本題中長(zhǎng)為2的邊長(zhǎng)可以分別與長(zhǎng)為4、5、6的邊對(duì)應(yīng)。

    設(shè)另兩邊分別為x、y。于是得出：

    得：；

    得：；

    得：。

    所以框架另兩邊長(zhǎng)可選，或，或。

  例4. 如圖1，，點(diǎn)M在AB上且，點(diǎn)N在AC上，聯(lián)結(jié)MN，使△AMN與原三角形相似，則AN＝___________。

    析：當(dāng)MN∥BC時(shí)，△AMN∽△ABC，可得：

    ，即

    故

    當(dāng)MN不平行于BC時(shí)，∠AMN＝∠C時(shí)，△AMN∽△ACB，可得：

    ，即，得

    故AN長(zhǎng)為2，或

  例5. 若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)___________。

    析：這是一道操作、設(shè)計(jì)型開(kāi)放題，可分兩種情況：（1）是正方形一角為直角三角形的直角時(shí)，如圖2，由相似可得出：；（2）是兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上，如圖3，由相似可得出：。所以此正方形的邊長(zhǎng)為，或。

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 例談求一次函數(shù)解析式的常見(jiàn)題型

  時(shí)勇

    一次函數(shù)及其圖像是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。其中求一次函數(shù)解析式就是一類(lèi)常見(jiàn)題型�，F(xiàn)以部分中考題為例介紹幾種求一次函數(shù)解析式的常見(jiàn)題型。希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一. 定義型

    例1. 已知函數(shù)是一次函數(shù)，求其解析式。

    解：由一次函數(shù)定義知

    ，故一次函數(shù)的解析式為

    注意：利用定義求一次函數(shù)解析式時(shí)，要保證。如本例中應(yīng)保證

二. 點(diǎn)斜型

    例2. 已知一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（2，－1），求這個(gè)函數(shù)的解析式。

    解：一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（2，－1）

    ，即

    故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為

    變式問(wèn)法：已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y＝－1，求這個(gè)函數(shù)的解析式。

三. 兩點(diǎn)型

    已知某個(gè)一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（－2，0）、（0，4），則這個(gè)函數(shù)的解析式為_(kāi)____________。

    解：設(shè)一次函數(shù)解析式為

    由題意得

    故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為

四. 圖像型

    例4. 已知某個(gè)一次函數(shù)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_(kāi)_________。

    解：設(shè)一次函數(shù)解析式為

    由圖可知一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（1，0）、（0，2）

    有

    故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為

五. 斜截型

    例5. 已知直線與直線平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為_(kāi)__________。

    解析：兩條直線：；：。當(dāng)，時(shí)，

    直線與直線平行，。

    又直線在y軸上的截距為2，

    故直線的解析式為

六. 平移型

    例6. 把直線向下平移2個(gè)單位得到的圖像解析式為_(kāi)__________。

    解析：設(shè)函數(shù)解析式為，直線向下平移2個(gè)單位得到的直線與直線平行

    直線在y軸上的截距為，故圖像解析式為

七. 實(shí)際應(yīng)用型

    例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)__________。

    解：由題意得，即

    故所求函數(shù)的解析式為（）

    注意：求實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式要寫(xiě)出自變量的取值范圍。

八. 面積型

    例8. 已知直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積等于4，則直線解析式為_(kāi)_________。

    解：易求得直線與x軸交點(diǎn)為（，0），所以，所以，即

    故直線解析式為或

九. 對(duì)稱(chēng)型

    若直線與直線關(guān)于

    （1）x軸對(duì)稱(chēng)，則直線l的解析式為

    （2）y軸對(duì)稱(chēng)，則直線l的解析式為

    （3）直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則直線l的解析式為

    （4）直線對(duì)稱(chēng)，則直線l的解析式為

    （5）原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則直線l的解析式為

    例9. 若直線l與直線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則直線l的解析式為_(kāi)___________。

    解：由（2）得直線l的解析式為

十. 開(kāi)放型

    例10. 已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A（1，4），B（2，2）兩點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足上述條件的兩個(gè)不同的函數(shù)解析式，并簡(jiǎn)要說(shuō)明解答過(guò)程。

    解：（1）若經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的函數(shù)圖像是直線，由兩點(diǎn)式易得

    （2）由于A、B兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的積都等于4，所以經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的函數(shù)圖像還可以是雙曲線，解析式為

    （3）其它（略）

十一. 幾何型

    例11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B是x軸上的兩點(diǎn)，，，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)，若C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）。（1）求圖像過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式，并求其對(duì)稱(chēng)軸；（2）求圖像過(guò)點(diǎn)E、F的一次函數(shù)的解析式。

    解：（1）由直角三角形的知識(shí)易得點(diǎn)A（，0）、B（，0），由待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式為，對(duì)稱(chēng)軸是

    （2）連結(jié)OE、OF，則、。過(guò)E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E（，）、F（，）由待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)解析式為

十二. 方程型

    例12. 若方程的兩根分別為，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，）和Q（，）的一次函數(shù)圖像的解析式

    解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，

    ，

    點(diǎn)P（11，3）、Q（－11，11）

    設(shè)過(guò)點(diǎn)P、Q的一次函數(shù)的解析式為

    則有

    解得

    故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為

十三. 綜合型

    例13. 已知拋物線的頂點(diǎn)D在雙曲線上，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)C（a、b）且使y隨x的增大而減小，a、b滿(mǎn)足方程組，求這條直線的解析式。

    解：由拋物線的頂點(diǎn)D（）在雙曲線上，可求得拋物線的解析式為：

    ，頂點(diǎn)D₁（1，－5）及

    頂點(diǎn)D₂（，－15）

    解方程組得，

    即C₁（－1，－4），C₂（2，－1）

    由題意知C點(diǎn)就是C₁（－1，－4），所以過(guò)C₁、D₁的直線是；過(guò)C₁、D₂的直線是

試題詳情

 例析二次根式加減法“三步曲”

   王云峰   楊毅

    二次根式相加減，先把每個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類(lèi)二次根式分別進(jìn)行合并，即“先化簡(jiǎn)――再判斷――最后合并”，這就是解答二次根式加減問(wèn)題的三步曲。舉例說(shuō)明如下：

    例1. 計(jì)算：

    分析：題中每個(gè)二次根式都是最簡(jiǎn)二次根式，可直接判斷同類(lèi)二次根式再分別合并。

    解：原式

    說(shuō)明：二次根式不管是否為同類(lèi)二次根式都可以相乘除，但只有同類(lèi)二次根式才能相加減，即二次根式加減法的前提條件是具備同類(lèi)二次根式，本題中不是同類(lèi)二次根式，不能再進(jìn)行加減運(yùn)算。

    例2. 計(jì)算：

    分析：題中每個(gè)二次根式都不是最簡(jiǎn)二次根式，應(yīng)按“先化簡(jiǎn)――再判斷――最后合并”三步曲進(jìn)行計(jì)算。

    解：原式

    說(shuō)明：二次根式前面的系數(shù)要寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)的形式，不能寫(xiě)成帶分?jǐn)?shù)。本題中的系數(shù)不能寫(xiě)成，的系數(shù)不能寫(xiě)成。

    例3. 計(jì)算：

    分析：二次根式加減運(yùn)算中如果有括號(hào)要先去括號(hào)，再按三步曲進(jìn)行計(jì)算。

    解：原式

    說(shuō)明：合并同類(lèi)二次根式時(shí)，不可忽視系數(shù)為1或的二次根式。本題中的系數(shù)不是0，而是。另外，當(dāng)括號(hào)前是“－”，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要改變符號(hào)。

    例4. 計(jì)算：

    分析：二次根式內(nèi)有分式加減運(yùn)算，要先將根號(hào)內(nèi)分式計(jì)算出最后結(jié)果，再按三步曲進(jìn)行解答。

    解：原式

    說(shuō)明：根號(hào)內(nèi)有分式加減運(yùn)算時(shí)，如本題中的，不能錯(cuò)誤地化簡(jiǎn)成，正確的做法是在根號(hào)內(nèi)將分式通分求出結(jié)果，再進(jìn)行二次根式的加減。

試題詳情

 從最簡(jiǎn)情形出發(fā)

周奕生

    當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜，感到困難，不易下手時(shí)，就可以適當(dāng)?shù)亍巴恕保�甚至可“退”到最�?jiǎn)單的情形，然后由此出發(fā)去分析，可能會(huì)巧妙地突破，請(qǐng)看

    例1  甲乙兩人輪流在圓形桌面上玩擺硬幣游戲，規(guī)定硬幣大小相同，不能重疊，誰(shuí)擺下最后一枚誰(shuí)獲勝。你知道獲勝的策略嗎？

    分析：一個(gè)大大的圓桌究竟可以容下多少枚小小的硬幣呢？這是多數(shù)解答者面臨的困境之一。但如果告訴你圓形的桌面很小，小到和硬幣一樣小，或者告訴你硬幣很大，大到和圓形桌面一樣大，這時(shí)應(yīng)該說(shuō)連三歲的小孩都知道先擺的人獲勝。事實(shí)上也是如此。不論桌面和硬幣的大小如何，先擺者只要將第一枚放在正中央，接下來(lái)只要后擺者能擺下一枚，先擺者也總可以擺下一枚，這是由于圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)于每確定的一個(gè)點(diǎn)，總存在一個(gè)關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)。因此，先擺者獲勝。

    象上述這種思考問(wèn)題的方法我們稱(chēng)為簡(jiǎn)約思維法，簡(jiǎn)約思維法實(shí)際上就是將繁雜問(wèn)題的背景簡(jiǎn)單化，將一般問(wèn)題特殊化。再看以下幾例。

    例2  某錄像廳原門(mén)票一張6元，降價(jià)后平均每場(chǎng)的觀眾可以增加3倍，收入增加了2倍，問(wèn)每張門(mén)票降價(jià)多少元？

    分析  按一般的思路求解的方法大多是：設(shè)門(mén)票降價(jià)x元，原有觀眾a人，則原收入6a元，降價(jià)后收入4a（6－x）元，依題意，得

    4a（6－x）=18a，解得x=1.5

    因此，降價(jià)1.5元。

    現(xiàn)在我們問(wèn)題的背景簡(jiǎn)化為：原來(lái)的觀眾只有一人，則原收入6元，降價(jià)后觀眾有4人，收入18元，因此，降價(jià)后的門(mén)票價(jià)格是每張4.5元，降價(jià)了1.5元。

    例3  四只螞蟻分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)沿正方形的邊爬行，如果它們的速度相同，那么這四只螞蟻不相撞的概率是多少？

    分析：許多人的解法是：將每只螞蟻可能爬行的方向（順時(shí)針和逆時(shí)針）一一羅列出來(lái)，然后確定不相撞的情形（都按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蚺佬校┣蠼狻６�事�?shí)上，我們可以先確定第一只螞蟻爬行的方向，為了不相撞，其余三只螞蟻爬行的方向必須與第一只相同，而每只螞蟻爬行方向與第一只相同的概率都是，因此，三只螞蟻爬行與第一只都相同的概率是，這就是四只螞蟻不相撞的概率。

    例4  某船拖一橡皮筏沿江逆流而上，在A處由于繩子斷開(kāi)，橡皮筏順流漂走了10分鐘后船上的人才知道，立即掉頭追趕。假設(shè)船掉頭的時(shí)間忽略不計(jì)，問(wèn)需要多少分鐘才能追上？

    分析：許多解題者一見(jiàn)到這個(gè)題目都認(rèn)為題設(shè)條件似乎不足，一旦確定題目無(wú)誤后采用的解法大多是運(yùn)用“設(shè)而不求”法，即設(shè)船在靜水中的速度為a，水流的速度為b等等。而事實(shí)上題目并沒(méi)有告訴我們水流速度如何如何，我們完全可以假定水是靜止的，這樣問(wèn)題豈不是很簡(jiǎn)單了嗎？

    在水為靜止的前提下，繩子斷開(kāi)后橡皮筏也是靜止的，始終呆在A處，船是在靜水中行駛，往返的速度相同，行駛的距離也是相同的，因此，船離開(kāi)A處和返回到A處的時(shí)間相同，也是10分鐘，故船需要10分鐘才能追上橡皮筏。

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 兩圓外切的性質(zhì)與應(yīng)用

孫建洪

兩圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種關(guān)系，當(dāng)相切的兩個(gè)圓，除了切點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都各在另一個(gè)圓的外部時(shí)，我們稱(chēng)這兩個(gè)圓外切。而且外切關(guān)系是兩圓位置關(guān)系中比較重要的一種關(guān)系，它具有的性質(zhì)較多。

4           性質(zhì)（1） 外切兩圓的連心線必經(jīng)過(guò)它們的切點(diǎn)，且兩個(gè)圓心之間的距離d（圓心距）

等于兩個(gè)圓的半徑之和，即d=R+r

兩圓外切，其中任一個(gè)圓的過(guò)兩圓切點(diǎn)的切線，也必是另一個(gè)圓的切線，也就是說(shuō)，

兩個(gè)圓心及切點(diǎn)這三點(diǎn)共線。

例1 若兩圓半徑分別為R，r(R＞r)，其圓心距為d,且 ，則兩圓的位置關(guān)系是__________.

解：因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/兩圓外切的性質(zhì)與應(yīng)用%20專(zhuān)題指導(dǎo).files/image004.gif" >

所以

所以

所以d=R+r(R+r=-d不合題意).

因此兩圓的位置關(guān)系是外切.

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