復雜線段比例式和等積式證明舉例

王仁宏

    義務(wù)教育初中幾何第二冊對簡單的線段比例式和等積式做了一些簡單介紹。但同學們解題中還會遇到一些復雜的線段比例式和等積式的證明。

    例如

    等，證明這些等式的思想是將它們轉(zhuǎn)化為簡單的比例式和等積式加以證明，下面舉例說明這種證題思路。

一. 型等式的證明

    例1. 如圖1所示，在△ABC中，∠A的平分線交BC于P，∠A的外角平分線交BC延長線于Q，O是PQ之中點。

圖1

    求證：

    證明：因為AP平分

    又因為O是斜邊PQ之中點，連AO，得OA=OP。因為

    例2. 如圖2所示，已知△ABC中，DF⊥BC于F。

    求證：

圖2

    證明：

二. 型等式的證明

    例3. 如圖3所示，已知一直線截△ABC的邊AB，AC和BC的延長線于F、E、D。

    求證：

圖3

    證明：過點C作CG//FD，交AB于G。

三. 型等式的證明

    例4. 如圖4所示，已知O是△ABC內(nèi)的一點，過O作EF、QP、GH分別平行于BC、CA、AB。

    求證：

圖4

    分析：求證的是三個比的和為1，只要求得與這三個比的分母是同一條線段，并且分子線段的和等于分母線段即可。

    證明：在中，

    在△ABC和△GOF中，

四. 型等式的證明

    例5. 如圖5所示，在銳角△ABC中，高線BE與CF相交于H，

    求證：。

圖5

    分析：求證式中的右端有線段的積，這使我們聯(lián)想到如能創(chuàng)造出相似三角形，則會有對應(yīng)線段成比例，就會出現(xiàn)線段的乘積式，為此添輔助線于D，則出現(xiàn)相似三角形，而求證式中的右端均為相似三角形的邊，故可從相似三角形開始證明。

    證明：過H作交BC于D。

    則

    即         （1）