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專(zhuān)題七《圓》
●中考點(diǎn)擊
考點(diǎn)分析：
內(nèi)容
要求
1、圓、等圓、等弧等概念及圓的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系以及其有關(guān)概念
Ⅰ
2、弧、弦、圓心角、弦心距四者之間的關(guān)系，能根據(jù)具體條件確定這四者之間的關(guān)系
Ⅱ
3、圓的性質(zhì)及圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)圓周角的特征，靈活運(yùn)用圓周角的知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的推理論證及計(jì)算
Ⅱ
4、垂徑定理的應(yīng)用及逆定理的應(yīng)用，會(huì)添加與之相關(guān)的輔助線(xiàn)
Ⅱ
5、圓與三角形和圓內(nèi)接四邊形的知識(shí)及綜合運(yùn)用
Ⅱ
命題預(yù)測(cè)：本專(zhuān)題主要考查圓的重要性質(zhì)以及和圓有關(guān)的角、線(xiàn)段、環(huán)長(zhǎng)和面積的計(jì)算，另外也會(huì)考查圓與勾股定理、相似三角形知識(shí)的綜合應(yīng)用．其中，點(diǎn)和圓、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的判斷以及和圓有關(guān)的簡(jiǎn)單計(jì)算一般以選擇填空題形式考查；有關(guān)圓與圖形的相似、三角函數(shù)、函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用一般是以證明、閱讀理解、探索存在等解答題的形式考查．
從2005和2006年各地區(qū)中考試題中有關(guān)圓的考查內(nèi)容占分比例分析，課改區(qū)一般占到10%左右，而非課改區(qū)以往對(duì)這一部分較為看重，前幾年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不難看出正逐步向課改區(qū)靠攏，而且難度也有所降低．預(yù)測(cè)2008年中考這部分內(nèi)容的考查會(huì)更加貼近生活，重視實(shí)用，同時(shí)強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，突出能力的考查．
●難題透視
例1如圖7-1，在
中，弦
平行于弦
，若
，則
____度．
【考點(diǎn)要求】本題主要考查圓中圓心角與圓周角之間的關(guān)系．
【思路點(diǎn)拔】∵∠B=
∠AOC，
∴∠B=40°
∵AD∥BC
∴∠B =40°
【答案】填：40
【方法點(diǎn)撥】本題部分學(xué)生不能很快發(fā)現(xiàn)所求角與已知角之間的關(guān)系．突破方法：抓住題中的所在條件，如本題中的兩條弦平行，由此可將∠DAB轉(zhuǎn)化為∠ABC，然后再利用圓周角與圓心的角關(guān)系求解．
解題關(guān)鍵：本題要求學(xué)生要熟悉同弧所對(duì)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，即同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，同時(shí)還要根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行解題．
例2如圖8-2，AB是的⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，則∠BCD=（ ）
A．1000 B．
【考點(diǎn)要求】本題考查了圓中弧、弦、圓心（周）角之間的關(guān)系，以及直徑所對(duì)的弧是半圓等基本知識(shí)．
【思路點(diǎn)拔】∵AB是的⊙O的直徑
∴
度數(shù)是1800
∵BC=CD=DA
∴
=
=
∵∠BCD=
=1200
【答案】選填C
【方法點(diǎn)撥】本題要求學(xué)生要能比較熟悉圓中的弧、弦和圓心角之間的有關(guān)系，即同圓中相等的弦所對(duì)的弧相等，所對(duì)的圓心角也相等，同時(shí)還要知道直徑是圓的一條特殊的弦，其所對(duì)的圓心角等于180°，以及圓心角與圓周角之間的關(guān)系，綜合運(yùn)用這些知識(shí)，容易理解要求某個(gè)圓周角，只需求得其所對(duì)的弧的度數(shù)．
例3已知：AB和CD為⊙O的兩條平行弦，⊙O的半徑為
【考點(diǎn)要求】本題考查圓中弦、弦心距等與弦有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題．
【思路點(diǎn)拔】由于圓內(nèi)的的兩條弦均小于圓的直徑，因此可確定出圓中的兩條平行弦的位置關(guān)系有兩種：一是位于圓心的同側(cè)；二是位于圓心的異側(cè)．如圖8-3：過(guò)O作EF⊥AB，分別交AB、CD于E、F，則AE=4┩，CF=3┩，由勾股定理可求出OE=3┩，OF=4┩．故當(dāng)AB、CD在圓心異側(cè)時(shí)，距離為7┩，在圓心同側(cè)時(shí)，距離為1┩．
【答案】填：7┩或1┩
【方法點(diǎn)撥】本題難點(diǎn)有兩個(gè)：一是有不少學(xué)生容易只考慮其中的一種情形，而忽視另一情形；二是輔助線(xiàn)的添加．突破方法：一般幾何填空題中，如果不配圖，在自己作圖時(shí)，應(yīng)全面考慮各種可能情況．圓中與弦有關(guān)的計(jì)算或證明問(wèn)題，往往需要連結(jié)半徑和弦心距，以構(gòu)造直角三角形，從而應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．
例4用圓規(guī)、直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．
某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖7-5圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面；
（2）若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB＝
【考點(diǎn)要求】本題考查圓內(nèi)心的確定，及與弦有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生動(dòng)手操作圖形的能力和利用基本知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力．
【思路點(diǎn)拔】（1）正確作出圖形，如圖7-6并做答．
（2）過(guò)O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，
∵OC⊥AB
， ∴BD＝
AB＝×16＝
由題意可知，CD＝
設(shè)半徑為x cm，則OD＝（x－4）cm．
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：
OD2＋BD2＝OB2， ∴( x－4)2＋82＝x2．
∴x＝10．
【答案】這個(gè)圓形截面的半徑為
【方法點(diǎn)撥】這是一道作圖與解答相結(jié)合的中考題，部分學(xué)生不會(huì)補(bǔ)全整個(gè)圓面或者補(bǔ)全之后不知如何進(jìn)行計(jì)算．突破方法：補(bǔ)全圓面的關(guān)鍵在于確定圓心，然后再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．
解題關(guān)鍵：確定圓心時(shí)，主要根據(jù)圓的定義，取弧上的兩條弦，作出兩條弦的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為圓心，然后連結(jié)半徑構(gòu)造直角三角形．
例5如圖7-7，有一木制圓形臉譜工藝品，H、T兩點(diǎn)為臉譜的耳朵，打算在工藝品反面兩耳連線(xiàn)中點(diǎn)D處打一小孔．現(xiàn)在只有一塊無(wú)刻度單位的直角三角板（斜邊大于工藝品的直徑），請(qǐng)你用兩種不同的方法確定點(diǎn)D的位置（畫(huà)出圖形表示），并且分別說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)要求】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)知識(shí)，通過(guò)對(duì)圓中弦的中點(diǎn)的確定，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．
【思路點(diǎn)拔】方法一：畫(huà)弦的垂直平分線(xiàn)常用的依據(jù)是根據(jù)垂徑定理，如圖7-8中，圖①，畫(huà)TH的垂線(xiàn)L交TH于D，則點(diǎn)D就是TH的中點(diǎn)．
方法二：利用全等三角形，如圖②，分別過(guò)點(diǎn)T、H畫(huà)HC⊥TO，TE⊥HO，HC與TE相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O、F畫(huà)直線(xiàn)L交HT于點(diǎn)D，由畫(huà)圖知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT，所以點(diǎn)O、F在HT的中垂線(xiàn)上，所以HD=TD了，則點(diǎn)D就是HT的中點(diǎn)．
方法三：如圖③，（原理同方法二）
【答案】見(jiàn)圖．
【方法點(diǎn)撥】這一道題有一定的開(kāi)放性，題目中只提供了一塊無(wú)刻度單位的直角三角板（斜邊大于工藝品的直徑），工具的限至使用學(xué)生思維不易完全打開(kāi)．突破方法： 充分利用三角板直角，可畫(huà)垂直線(xiàn)段，從而能夠根據(jù)垂徑定理或者構(gòu)造全等的直角三角形來(lái)確定弦的中點(diǎn)．
例6如圖7-9，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC交⊙O與點(diǎn)F．
（1）AB與AC的大小有什么關(guān)系?為什么?
（2）按角的大小分類(lèi)， 請(qǐng)你判斷△ABC屬于哪一類(lèi)三角形，并說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)要求】本題考查與圓有關(guān)的性質(zhì)在三角中的應(yīng)用．
【思路點(diǎn)拔】（1）（方法1）連接DO ，∵OD是△ABC的中位線(xiàn)，
∴DO∥CA，∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO ，∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC
（方法2）連接AD， ∵AB是⊙O的直徑，∴AO⊥BC，
∵BD＝CD，∴AB＝AC
（方法3）連接DO∵OD是△ABC的中位線(xiàn)，∴OD=
AC ，OB=OD=AB，∴AB=AC
（2） 連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°
∴∠B＜∠ACB＝90°．∠C＜∠ACB＝90°．∴∠B、∠C為銳角
∵AC和⊙O交于點(diǎn)F，連接BF，
∴∠A＜∠BFC＝90°．∴△ABC為銳角三角形
【答案】（1）AB＝AC；（2）△ABC為銳角三角形
【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生第（1）題會(huì)做出判斷，但不知如何證明，而第（2）題又容易將問(wèn)題結(jié)果簡(jiǎn)單、特殊化，易錯(cuò)誤的判斷為等邊三角形．突破方法：判斷或證明線(xiàn)段的大小關(guān)系時(shí)，一般結(jié)論是相等，在同一個(gè)三角形中可根據(jù)等角對(duì)等邊證明，如果在兩個(gè)三角形中，往往會(huì)根據(jù)三角形全等證明，同時(shí)還要看清題目要求，如本題就是要求按角的大小分類(lèi)進(jìn)行判斷，而不是邊的大小關(guān)系．
解題關(guān)鍵：證明同一個(gè)三角形中的兩邊相等，一般根據(jù)等角對(duì)等邊進(jìn)行證明．
例7如圖7-13，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H．
（1）求證：AH ?AB=AC2；
（2）若過(guò)A的直線(xiàn)與弦CD（不含端點(diǎn)）相交于點(diǎn)E，與⊙O相交于點(diǎn)F，求證：AE?AF=AC2；
（3）若過(guò)A的直線(xiàn)與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)P，與⊙O相交于點(diǎn)Q，判斷AP?AQ=AC2是否成立(不必證明)．
【考點(diǎn)要求】本題考查與圓有關(guān)的三角形相似問(wèn)題，是一道幾何綜合證明題．
【思路點(diǎn)拔】（1）連結(jié)CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC ．
∴
， 即AH?AB=AC2
．
（2）連結(jié)FB，易證△AHE∽△AFB，
∴ AE?AF=AH?AB，
∴ AE?AF=AC2 ．
(也可連結(jié)CF，證△AEC∽△ACF)
（3）結(jié)論AP?AQ=AC2成立．
【答案】 （3）結(jié)論AP?AQ=AC2成立．
【規(guī)律總結(jié)】等積式的證明往往要轉(zhuǎn)化為比例式進(jìn)行，部分學(xué)生不知改寫(xiě)為何種比例式比較合適．突破方法：把等積式轉(zhuǎn)化為比例式時(shí)，要結(jié)合圖形書(shū)寫(xiě)，如證明AH ?AB=AC2時(shí)，可將其先轉(zhuǎn)化為，然后從比例式中對(duì)應(yīng)邊的比容易看出證明的目標(biāo)為△CAH∽△BAC，從而使得解題變得有的放矢．
解題關(guān)鍵：證明圓中的等積式或比例式問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)利用三角形的相似，因?yàn)閳A中容易證明角相等．
●難點(diǎn)突破方法總結(jié)
在求解有關(guān)圓的中考試題，尤其是難題時(shí)，應(yīng)盡量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把題目由繁化簡(jiǎn)，變難為易．歸納下來(lái)，有這樣幾個(gè)方面值得考生們注意：
1.掌握解題的關(guān)鍵點(diǎn)．（1）有直徑，常作其所對(duì)的圓周角；（2）有切線(xiàn)，常將切點(diǎn)與圓心連結(jié)起來(lái)；（3）有關(guān)弦的問(wèn)題，常需作弦心距．聯(lián)系垂徑定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究?jī)蓤A位置關(guān)系時(shí)，常作公切線(xiàn)和連心線(xiàn)；（5）有關(guān)切線(xiàn)的判定問(wèn)題，根據(jù)題目條件，主要是兩條思路，連半徑證明垂直，或者是作垂直證明半徑．
2.重視基本定理與基本圖形相結(jié)合，計(jì)算與推理相結(jié)合，靈活運(yùn)用各種方法．
3.重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．運(yùn)用分析法、演繹法、截補(bǔ)法，結(jié)合方程思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想解有關(guān)圓的應(yīng)用題，探索開(kāi)放性題和方案設(shè)計(jì)．
●拓展演練
一、選擇題
1．已知⊙O的半徑為
A．點(diǎn)A在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)A在⊙O 上 C．點(diǎn)A在⊙O 外 D．不能確定
2．已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離
3．下列語(yǔ)句中正確的有（ ）
①相等的圓心角所對(duì)的弧相等 ②平分弦的直徑垂直于弦 ③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 ④ 經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
4．已知圓的半徑為6．
A．相交 B．相切 C ．相離 D．相交或相離
5．如圖，點(diǎn)P是⊙O的直徑BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，CD⊥AB，垂足為D，連結(jié)AC．BC．OC，那么下列結(jié)論中：①PC2=PA?PB；②PC?OC=OP?CD；③OA2=OD?OP．正確的有（ ）
A ．0個(gè) B．1個(gè) C ．2個(gè) D．3個(gè)
6．AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D．E是半圓的三等分點(diǎn)，AE．BD 的 延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C，若CE=2，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．
π－
B．
π
C．π－
D．
π
二、填空題
7．直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為6和8，那么這個(gè)三角形的外接圓半 徑等于 ．
8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，則sin∠ABD
的值是
9．用
10．某落地鐘鐘擺的擺長(zhǎng)為0．
m（不取近似值）．
11．如圖，圓錐的底面半徑為
12．“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”此問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是解決下面的問(wèn)題：“如圖8，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE=1，AB=10，求CD的長(zhǎng)”．根據(jù)題意可得CD的長(zhǎng)為 ．
三、解答題
13．如圖，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，點(diǎn)P在AC上，AP=2，若⊙O的圓心在線(xiàn)段BP上，且⊙O與AB．AC都相切，求⊙O的半徑．
14．已知: 如圖， AB是⊙O的直徑， ⊙O過(guò)AC的中點(diǎn) D， DE切⊙O于點(diǎn)D， 交BC于點(diǎn)E． (1)求證: DE⊥BC; (2)如果CD=4， CE=3， 求⊙O的半徑．
15．如圖所示，外切于P點(diǎn)的⊙O1和⊙O2是半徑為
16．如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線(xiàn)AC與過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)相交于點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線(xiàn)CF交直線(xiàn)AB于點(diǎn)G．?
（1）求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；
（2）求證：CG是⊙O的切線(xiàn)；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．
17．已知：AB為⊙O的直徑，P為AB弧的中點(diǎn)．
（1）若⊙O′與⊙O外切于點(diǎn)P（見(jiàn)圖甲），AP．BP的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交⊙O′于點(diǎn)C．D，連接CD，則△PCD是 三角形；?
（2）若⊙O′與⊙O相交于點(diǎn)P．Q（見(jiàn)圖乙），連接AQ．BQ并延長(zhǎng)分別交⊙O′于點(diǎn)E．F，請(qǐng)選擇下列兩個(gè)問(wèn)題中的一個(gè)作答：
問(wèn)題一：判斷△PEF的形狀，并證明你的結(jié)論；
問(wèn)題二：判斷線(xiàn)段AE與BF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
我選擇問(wèn)題 ，結(jié)論： ．
?
●習(xí)題答案專(zhuān)題七《圓》
1.【答案】A [點(diǎn)撥：根據(jù)圓的定義及點(diǎn)和圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析]
2.【答案】D [點(diǎn)撥：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷]
3.【答案】A [點(diǎn)撥：這是一道概念辨析題，正確理解等弧的概念是解此類(lèi)題目的關(guān)鍵．等弧只能在同圓中，長(zhǎng)度相等或度數(shù)相等的兩條弧都不能判斷是等弧，因此①③ 都是錯(cuò)誤的，圓內(nèi)任意兩條直徑都互相平分，但不一定垂直，故②不正確]
4.【答案】C
[點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件圓心到直線(xiàn)的距離為
5.【答案】D
[點(diǎn)撥：由題目已知條件，容易證明△PCA∽△PBC．△OCD∽△OPC，所以
，
，
，又由于OA=OC，從而可推得三個(gè)結(jié)論全部正確]
6.【答案】A
[點(diǎn)撥：∵
，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC是等邊三角形，又 AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=900 ，即 BE⊥AE，∴AC=2CE=4=AB， ∴S陰=S扇形OBE －S▲ABE=π－]
7.【答案】5 [點(diǎn)撥：直角三角形外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)上，且半徑等于斜邊的一半]
8.【答案】
[由已知已知AB是⊙O的直徑，得∠ACB=90O，AB垂直平分CD，∴△BCD為等腰三角形，∴∠ABD=∠ABC，∴sin∠ABD=sin∠ABC=
]
9.【答案】圓 [點(diǎn)撥：用同樣長(zhǎng)度的材料，圓形場(chǎng)地的面積較大]
10.【答案】
[點(diǎn)撥：根據(jù)垂徑定理計(jì)算]
11.【答案】216o [
（cm），C=2πr=12π，∴n=
]
12.【答案】26
[點(diǎn)撥：由垂徑定理可知，CD平分弦AB，所以
，設(shè)⊙O的半徑為R，連結(jié)OA，在Rt△AOE中，
，所以
，解之，得R=13，所以CD=2R=26]
13.【答案】解：由題意，BC=
=6， 過(guò)O分別作OD⊥AB，OE⊥OE，則D．E分別是AB．AC與⊙O相切的切點(diǎn)，則AD=AE，OD=OE，
，
，∴
，∴EP=OE，設(shè)OE=x，則BD=AB-AD=AB-AE=10-(2+x)=8-x，OB=BP-OP=
， ∴(8-x)2+x2=2(6-x)2 ，∴x=1，∴⊙O的半徑為1
14.【答案】解：（1）連結(jié)OD．∵DE切⊙O于點(diǎn)D，∴DE⊥OD， ∴∠ODE=900 ，又∵AD=DC， AO=OB ，∴OD//BC，∴∠DEC=∠ODE=900，∴DE⊥BC
（2）連結(jié)BD．∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=900 ，∴BD⊥AC， ∴∠BDC=900
，又∵DE⊥BC， △RtCDB∽△RtCED ，∴
， ∴BC=
又∵OD=
BC，∴OD=
， 即⊙O的半徑為
．
15.【答案】解：設(shè)PC=xcm，BC=ycm， 連結(jié)BC，則∠BCP=90o
，AC2=AP?AB，
∴AC=6，又∠ACP=∠CBP，∴△ACP∽△ABC， 
①
，即
②， 由①、②得，x=2，y=2
( x=-2，
y=-2（舍去），∴PC=2cm
16.【答案】解：（1）∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF
∴
，∵HE＝EC，∴BF＝FD
（2）方法一：連接CB．OC，∵AB是直徑， ∴∠ACB＝90°，∵F是BD中點(diǎn)，∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO，∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切線(xiàn)
方法二：可證明△OCF≌△OBF
（3）解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，可證得：FA＝FG，且AB＝BG，由切割線(xiàn)定理得：[2＋FG]2＝BG×AG=2BG2 ①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ②
由①、②得：FG2－4FG－12=0，解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去）
∴AB＝BG＝
，∴⊙O半徑為2
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