2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷理科數(shù)學(xué)(二)
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束,將答題卡和答題紙交回.
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
注意事項(xiàng):
1.答第I卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上.
2.每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案.不能答在試卷上.
一、選擇題:(每小題5分,共60分)
1.設(shè)集合,,( )
A. B. C. D.
2 設(shè)且,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則( )
A. B. C. D.
3.函數(shù)的圖象( )
A.關(guān)于軸對(duì)稱 B.關(guān)于軸對(duì)稱 C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
4.若,則( )
A. B. C. D.
5.已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)條件:① ,② ,③ ,則的最
小值等于( )
A. B. C. D.
6.從5名男運(yùn)動(dòng)員、4名女運(yùn)動(dòng)員中任選4名參加米接力賽跑,則選到的4名運(yùn)動(dòng)員中既有男運(yùn)動(dòng)員又有女運(yùn)動(dòng)員的概率是( )
A. B. C. D.
7.的展開式中的系數(shù)是( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù),,動(dòng)直線與、的圖象分別交于點(diǎn)、,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.設(shè),則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10.正四面體中,是中點(diǎn),與所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
11.某等腰三角形的兩腰所在的直線方程是與,點(diǎn) 在等腰三角形的底邊上,底邊所在直線的斜率等于( )
A. B. C. D.
12.正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑的比等于( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
注意事項(xiàng):請(qǐng)用黑色中性筆將答案寫在答題紙上,在本試卷上作答無效.
二、填空題:(每小題5分,共20分)
13. 已知向量,與共線,則 .
14. 設(shè)曲線在處的切線與直線垂直,則直線的傾斜角是 弧度.
15. 曲線的過焦點(diǎn)且傾斜角是的弦的長度等于 .
16. 請(qǐng)寫出一個(gè)三棱錐是正三棱錐的三個(gè)充要條件:
充要條件① ;
充要條件② ;
充要條件③ .
三、解答題:(本大題共6小題,共70分)
17. (本題滿分10分)在中,,,求的面積.
18. (本題滿分12分)在正三棱柱中,,,是的中點(diǎn),在上且.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大。
19. (本題滿分12分)關(guān)于學(xué)平險(xiǎn)(即學(xué)生平安保險(xiǎn)),學(xué)生自愿投保,每個(gè)投保學(xué)生每年繳納保費(fèi)元,如果學(xué)生發(fā)生意外傷害或符合賠償?shù)募膊,可獲得元的賠償.假定各投保學(xué)生是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立,并且每個(gè)投保學(xué)生在一年內(nèi)出險(xiǎn)的概率均是(說明:此處對(duì)實(shí)際保險(xiǎn)問題作了簡化處理).假定一年內(nèi)有人投保.
(Ⅰ)求保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)種中,一年內(nèi)至少支付賠償金元的概率;
(Ⅱ)設(shè)保險(xiǎn)公司辦理學(xué)平險(xiǎn)除賠償金之外的成本為萬元,求該公司在學(xué)平險(xiǎn)種上盈利的期望.
20. (本題滿分12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),用表示;
(Ⅱ)求首項(xiàng)的取值范圍,使得是遞減數(shù)列.
21. (本題滿分12分)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間及極值;
(Ⅱ)如果對(duì)于任意恒有,求的取值范圍.
22. (本題滿分12分)點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),的延長線與橢圓交于點(diǎn),直線與橢圓相交于點(diǎn)、,與相交于點(diǎn)(與、不重合).
(Ⅰ)若是的中點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
一、
1.C 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C
11.D 12.B
1~5略
6.或.
7.解:
.
其展開式中含的項(xiàng)是:,系數(shù)等于.
8.解:根據(jù)題意:.
9.解:,橢圓離心率為,,.
10.解:依腰意作出圖形.取中點(diǎn),連接、,則,不妨設(shè)四面體棱長為2,則是等腰三角形,必是銳角,就是與所成的角,.
11.解:已知兩腰所在直線斜率為1,,設(shè)底邊所在直線斜率為,已知底角相等,由到角公式得:
,解得或.
由于等腰三角底邊過點(diǎn)(,0)則只能取.
12.解:如圖,正四面體中,是
中心,連,此四面體內(nèi)切球與外接球具有共同球心.必在上,并且等于內(nèi)切球半徑,等于外接球半徑.記面積為,則
,從而.
二、
13..解:,與共線.
14..解:,曲線在(1,0)處的切線與直線垂直,則,的傾角是.
15.曲線 ①,化作標(biāo)準(zhǔn)形式為,表示橢圓,由于對(duì)稱性.取焦點(diǎn),過且傾角是135°的弦所在直線方程為:,即②,聯(lián)立式①與式②.消去y,得:,由弦長公式得:.
16.充要條件①:底面是正三角形,頂點(diǎn)在底面的射影恰是底面的中心.
充要條件②:底面是正三角形.且三條側(cè)棱長相等,
充要條件③:底面是正三角形,且三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等.
再如:底面是正三角形.且三條側(cè)棱與底面所成角相等;三條側(cè)棱長相等,且三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等;三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等,三個(gè)側(cè)面兩兩所成二面角相等.
三、
17.解:,則,,.由正弦定理得
,
.
18.(1)證:已知是正三棱柱,取中點(diǎn),中點(diǎn),連,,則、、兩兩垂直,以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,又已知,
則.
,,則,又因與相交,故面.
(2)解:由(1)知,是面的一個(gè)法向量.
,設(shè)是面的一個(gè)法向量,則①,②,取,聯(lián)立式①、②解得,則.
二面角是銳二面角,記其大小為.則
,
二面角的大小,亦可用傳統(tǒng)方法解(略).
19.解:已知各投保學(xué)生是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立,且每個(gè)投保學(xué)生在一年內(nèi)出險(xiǎn)的概率都是,記投保的5000個(gè)學(xué)生中出險(xiǎn)的人數(shù)為,則(5000,0.004)即服從二項(xiàng)分布.
(1)記“保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)險(xiǎn)種中一年內(nèi)支付賠償金至少5000元”為事件A,則
,
.
(2)該保險(xiǎn)公司學(xué)平險(xiǎn)除種總收入為元=25萬元,支出成本8萬元,支付賠償金5000元=0.5萬元,盈利萬元.
由~知,,
進(jìn)而萬元.
故該保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)險(xiǎn)種上盈利的期望是7萬元.
20.解(1):由得,即,
,而
由表可知,在及上分別是增函數(shù),在及上分別是減函數(shù).
.
(2)時(shí),等價(jià)于,記,
則,因,
則在上是減函數(shù),,故.
當(dāng)時(shí),就是,顯然成立,綜上可得的取值范圍是:
22.解:(1)由條件可知橢圓的方程是:
①,直線的方程是 ②,
聯(lián)立式①、②消去并整理得,由此出發(fā)時(shí),是等比數(shù)列,
.
(2)由(1)可知,.當(dāng)時(shí),
,
是遞減數(shù)列
對(duì)恒成立.
,時(shí),是遞減數(shù)列.
21.解(1):,由解得函數(shù)定義域呈.
,由解得,列表如下:
0
0
ㄊ
極大
ㄋ
ㄋ
極小
ㄊ
解得,進(jìn)而求得中點(diǎn).
己知在直線上,則.
(2).
設(shè),則,點(diǎn)到直線的距離
.
,由于直線與線段相交于,則,則.
記,則.
其次,,同理求得到的中離:,
設(shè),即,由得.
,
即且時(shí),.
又,當(dāng)即時(shí),.注意到,由對(duì)稱性,時(shí)仍有
故,進(jìn)而.
故四邊形的面積:
,
當(dāng)時(shí),.
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