題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分16分)
對(duì)于函數(shù)y=,x∈(0,,如果a,b,c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),那么,,也是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng), 則稱函數(shù)為“保三角形函數(shù)”.
對(duì)于函數(shù)y=,x∈,,如果a,b,c是任意的非負(fù)實(shí)數(shù),都有,,是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),則稱函數(shù)為“恒三角形函數(shù)”.
(1)判斷三個(gè)函數(shù)“=x,=,=(定義域均為x∈(0,)”中,那些是“保三角形函數(shù)”?請(qǐng)說明理由;
(2)若函數(shù)=,x∈,是“恒三角形函數(shù)”,試求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)如果函數(shù)是定義在(0,上的周期函數(shù),且值域也為(0,,試證明:既不是“恒三角形函數(shù)”,也不是“保三角形函數(shù)”.
一、
1.C 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C
11.D 12.B
1~5略
6.或.
7.解:
.
其展開式中含的項(xiàng)是:,系數(shù)等于.
8.解:根據(jù)題意:.
9.解:,橢圓離心率為,,.
10.解:依腰意作出圖形.取中點(diǎn),連接、,則,不妨設(shè)四面體棱長(zhǎng)為2,則是等腰三角形,必是銳角,就是與所成的角,.
11.解:已知兩腰所在直線斜率為1,,設(shè)底邊所在直線斜率為,已知底角相等,由到角公式得:
,解得或.
由于等腰三角底邊過點(diǎn)(,0)則只能取.
12.解:如圖,正四面體中,是
中心,連,此四面體內(nèi)切球與外接球具有共同球心.必在上,并且等于內(nèi)切球半徑,等于外接球半徑.記面積為,則
,從而.
二、
13..解:,與共線.
14..解:,曲線在(1,0)處的切線與直線垂直,則,的傾角是.
15.曲線 ①,化作標(biāo)準(zhǔn)形式為,表示橢圓,由于對(duì)稱性.取焦點(diǎn),過且傾角是135°的弦所在直線方程為:,即②,聯(lián)立式①與式②.消去y,得:,由弦長(zhǎng)公式得:.
16.充要條件①:底面是正三角形,頂點(diǎn)在底面的射影恰是底面的中心.
充要條件②:底面是正三角形.且三條側(cè)棱長(zhǎng)相等,
充要條件③:底面是正三角形,且三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等.
再如:底面是正三角形.且三條側(cè)棱與底面所成角相等;三條側(cè)棱長(zhǎng)相等,且三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等;三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等,三個(gè)側(cè)面兩兩所成二面角相等.
三、
17.解:,則,,.由正弦定理得
,
.
18.(1)證:已知是正三棱柱,取中點(diǎn),中點(diǎn),連,,則、、兩兩垂直,以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,又已知,
則.
,,則,又因與相交,故面.
(2)解:由(1)知,是面的一個(gè)法向量.
,設(shè)是面的一個(gè)法向量,則①,②,取,聯(lián)立式①、②解得,則.
二面角是銳二面角,記其大小為.則
,
二面角的大小,亦可用傳統(tǒng)方法解(略).
19.解:已知各投保學(xué)生是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立,且每個(gè)投保學(xué)生在一年內(nèi)出險(xiǎn)的概率都是,記投保的5000個(gè)學(xué)生中出險(xiǎn)的人數(shù)為,則(5000,0.004)即服從二項(xiàng)分布.
(1)記“保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)險(xiǎn)種中一年內(nèi)支付賠償金至少5000元”為事件A,則
,
.
(2)該保險(xiǎn)公司學(xué)平險(xiǎn)除種總收入為元=25萬(wàn)元,支出成本8萬(wàn)元,支付賠償金5000元=0.5萬(wàn)元,盈利萬(wàn)元.
由~知,,
進(jìn)而萬(wàn)元.
故該保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)險(xiǎn)種上盈利的期望是7萬(wàn)元.
20.解(1):由得,即,
,而
由表可知,在及上分別是增函數(shù),在及上分別是減函數(shù).
.
(2)時(shí),等價(jià)于,記,
則,因,
則在上是減函數(shù),,故.
當(dāng)時(shí),就是,顯然成立,綜上可得的取值范圍是:
22.解:(1)由條件可知橢圓的方程是:
①,直線的方程是 ②,
聯(lián)立式①、②消去并整理得,由此出發(fā)時(shí),是等比數(shù)列,
.
(2)由(1)可知,.當(dāng)時(shí),
,
是遞減數(shù)列
對(duì)恒成立.
,時(shí),是遞減數(shù)列.
21.解(1):,由解得函數(shù)定義域呈.
,由解得,列表如下:
0
0
ㄊ
極大
ㄋ
ㄋ
極小
ㄊ
解得,進(jìn)而求得中點(diǎn).
己知在直線上,則.
(2).
設(shè),則,點(diǎn)到直線的距離
.
,由于直線與線段相交于,則,則.
記,則.
其次,,同理求得到的中離:,
設(shè),即,由得.
,
即且時(shí),.
又,當(dāng)即時(shí),.注意到,由對(duì)稱性,時(shí)仍有
故,進(jìn)而.
故四邊形的面積:
,
當(dāng)時(shí),.
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