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請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)．
（1）某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm²）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？
（2）某廠商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值。

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一、

1．C       2．A      3．D      4．C       5．A      6．B       7．A      8．C       9．D      10．C

11．D     12．B

1～5略

6．或．

7．解：

       ．

其展開(kāi)式中含的項(xiàng)是：，系數(shù)等于．

8．解：根據(jù)題意：．

9．解：，橢圓離心率為，，．

10．解：依腰意作出圖形．取中點(diǎn)，連接、，則，不妨設(shè)四面體棱長(zhǎng)為2，則是等腰三角形，必是銳角，就是與所成的角，．

11．解：已知兩腰所在直線斜率為1，，設(shè)底邊所在直線斜率為，已知底角相等，由到角公式得：

       ，解得或．

       由于等腰三角底邊過(guò)點(diǎn)（，0）則只能取．

12．解：如圖，正四面體中，是

中心，連，此四面體內(nèi)切球與外接球具有共同球心．必在上，并且等于內(nèi)切球半徑，等于外接球半徑．記面積為，則

，從而．

二、

13．．解：，與共線．

14．．解：，曲線在（1，0）處的切線與直線垂直，則，的傾角是．

15．曲線      ①，化作標(biāo)準(zhǔn)形式為，表示橢圓，由于對(duì)稱性．取焦點(diǎn)，過(guò)且傾角是135°的弦所在直線方程為：，即②，聯(lián)立式①與式②．消去y，得：，由弦長(zhǎng)公式得：．

16．充要條件①：底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影恰是底面的中心．

充要條件②：底面是正三角形．且三條側(cè)棱長(zhǎng)相等，

充要條件③：底面是正三角形，且三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等．

再如：底面是正三角形．且三條側(cè)棱與底面所成角相等；三條側(cè)棱長(zhǎng)相等，且三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等；三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等，三個(gè)側(cè)面兩兩所成二面角相等．

三、

17．解：，則，，．由正弦定理得

       ，

       ．

18．（1）證：已知是正三棱柱，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，，則、、兩兩垂直，以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，又已知，

則．

，，則，又因與相交，故面．

（2）解：由（1）知，是面的一個(gè)法向量．

，設(shè)是面的一個(gè)法向量，則①，②，取，聯(lián)立式①、②解得，則．

              二面角是銳二面角，記其大小為．則

              ，

二面角的大小，亦可用傳統(tǒng)方法解（略）．

19．解：已知各投保學(xué)生是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立，且每個(gè)投保學(xué)生在一年內(nèi)出險(xiǎn)的概率都是，記投保的5000個(gè)學(xué)生中出險(xiǎn)的人數(shù)為，則（5000，0．004）即服從二項(xiàng)分布．

（1）記“保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)險(xiǎn)種中一年內(nèi)支付賠償金至少5000元”為事件A，則

              ，

              ．

（2）該保險(xiǎn)公司學(xué)平險(xiǎn)除種總收入為元=25萬(wàn)元，支出成本8萬(wàn)元，支付賠償金5000元=0．5萬(wàn)元，盈利萬(wàn)元．

由~知，，

進(jìn)而萬(wàn)元．

故該保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)險(xiǎn)種上盈利的期望是7萬(wàn)元．

20．解（1）：由得，即，

              ，而

由表可知，在及上分別是增函數(shù)，在及上分別是減函數(shù)．

．   

（2）時(shí)，等價(jià)于，記，

則，因，

則在上是減函數(shù)，，故．

當(dāng)時(shí)，就是，顯然成立，綜上可得的取值范圍是：

22．解：（1）由條件可知橢圓的方程是：

                ①，直線的方程是            ②，

聯(lián)立式①、②消去并整理得，由此出發(fā)時(shí)，是等比數(shù)列，

．

（2）由（1）可知，．當(dāng)時(shí)，

       ，

       是遞減數(shù)列

       對(duì)恒成立．

       ，時(shí)，是遞減數(shù)列．

21．解（1）：，由解得函數(shù)定義域呈．

              ，由解得，列表如下：

0

0

ㄊ

極大

ㄋ

ㄋ

極小

ㄊ

              解得，進(jìn)而求得中點(diǎn)．

              己知在直線上，則．

       （2）．

設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離

．

，由于直線與線段相交于，則，則．

記，則．

其次，，同理求得到的中離：，

設(shè)，即，由得．

，

即且時(shí)，．

又，當(dāng)即時(shí)，．注意到，由對(duì)稱性，時(shí)仍有

故，進(jìn)而．

故四邊形的面積：

，

當(dāng)時(shí)，．