海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習
數(shù) 學(理科) 2008.05
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分,第I卷1至2頁,第II卷3至9頁,共150分考試時。120分鐘.考試結束。將本試卷和答題卡一并交回。
第I卷(選擇題 共40分)
注意事項 :
1.答卷前將學校、班級、姓名填寫清楚。
2.選擇題的每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑.其它小題用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
(1)直線的傾斜角是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(A)20 (B)40 (C) 60 (D)80
(2)某中學有高一、高二、高三學生共1600名,其中高三學生400名.如果用分層抽樣的方法從這1600人中抽取一個160人的樣本,那么應當從高三學生中抽取的人數(shù)是 ( )
(3)函數(shù)的反函數(shù)是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4)函數(shù)與在同一直角坐標系下的圖象是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5)設是三條不同的直線,是三個不同的平面,則下列命題中的真命題是 ( )
(A)若與l所成的角相等,則
(B)若g與a,b所成的角相等,則a//b
(C)若與a所成的角相等,則
(D)若a//b,Ì a, 則
(6) 若an=(), 則 ( )
(A) (B) (C) (D)
(7)已知集合A滿足條件:若,則,那么集合中所有元素的乘積為( )
(A) (B) (C) (D)
(8)雙曲線的左、右焦點分別為,點()在其右支上,且滿足,,則的值是 ( )
(A) (B) (C) (D)
海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習
數(shù) 學(理科) 2008.05
第II卷(共110分)
注意事項 :
1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
題號
一
二
三
總分
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
分數(shù)
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.
(9)已知映射,集合A中元素x在對應法則f作用下的象為,那么A中元素的象是
.
(10)集合,B={x| |x-2|<3},= .
(11)在等差數(shù)列中,若,則= .
(12)設圓關于直線對稱的圓為C,則圓C的圓心坐標為 ;再把圓C沿向量 a=(1,2)平移得到圓D,則圓D的方程為 .
(13)在棱長為的正方體中, 分別為棱和的中點,則線段被正方體的內切球球面截在球內的線段長為_______________.
(14)中國象棋中規(guī)定:馬每走一步只能按日字格(也可以是橫日“ ”)
的對角線走.例如馬從方格中心點O走一步,會有8種走法.
則從圖中點A走到點B,最少需__________步,按最少的步數(shù)走,共有__________種走法.
(15)(本小題共12分)
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
設函數(shù),其中向量, ,
(I)求的值及函數(shù)的最大值;
(II)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間.
(16)(本小題共14分)
如圖,正方體ABCD-A1B
(Ⅰ) 求證:PD⊥AD1;
(Ⅱ) 當A1P=A1B1時,求CP與平面D1DCC1所成角的正弦值;
(Ⅲ) 當A1P=A1B1時,求點C到平面D1DP的距離.
(17)(本小題共13分)
某單位為普及奧運知識,根據(jù)問題的難易程度舉辦A,B兩種形式的知識競猜活動. A種競猜活動規(guī)定:參賽者回答6個問題后,統(tǒng)計結果,答對4個,可獲福娃一個,答對5個或6個,可獲其它獎品;B種競猜活動規(guī)定:參賽者依次回答問題,答對一個就結束競猜且最多可回答6個問題,答對一個問題者可獲福娃一個. 假定參賽者答對每個題的概率均為.
(I) 求某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率;
(II) 設某人參加B種競猜活動,結束時答題數(shù)為,求E.
(18)(本小題共13分)
如圖,矩形ABCD中,AB=,BC=,橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線,矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長,橢圓M的離心率大于0.7.
(I)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼,求橢圓M的方程;
(II)過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于兩點,設橢圓的右焦點為,當時,求的面積.
(19)(本小題共14分)
已知:函數(shù)().
(I)若函數(shù)的圖象在點P(1,)處的切線的傾斜角為,求a;
(II)設的導函數(shù)是,在(I)的條件下.若,求的最小值;
(Ⅲ)若存在,使,求a的取值范圍.
(20)(本小題共14分)
已知函數(shù),滿足:
①對任意,都有;
②對任意都有.
(I)試證明:為上的單調增函數(shù);
(II)求;
(III)令,試證明:.
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數(shù)學(理科)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.)
題號
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
D
B
A
C
D
C
B
C
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分)
(9) (10) 或 (11)
(12) , (13) (14)4,8
三、解答題(本大題共6小題,共80分.)
(15) (共12 分)
解:(I),,
= ?
2分
4分
= . 5分
又 6分
函數(shù)的最大值為. 7分
當且僅當(Z)時,函數(shù)取得最大值為.
(II)由(Z), 9分
得 (Z). 11分
函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[](Z). 12分
(16) (共14分)
解法一:(I)證明:連結A1D,在正方體AC1中, ∵A1B1^平面A1ADD1,
\ A1D是PD在平面A1ADD1 內的射影. 2分
在正方形A1ADD1中, A1D^ AD1, \ PD⊥AD1. 4分
解(II) 取中點,連結,,則//.
平面,∴平面.
∴為在平面內的射影.
則為CP與平面D1DCC1所成的角. 7分
在中,
∴與平面D1DCC1所成的角的正弦值為. 9分
(III)在正方體AC1中,∥.
平面內,
∴∥平面.
∴點到平面的距離與點C1到平面的距離相等.
又平面,面,
∴平面平面.
又平面平面,
過C1作C1H于H,則C1H平面.
∴C1的長為點C1到平面的距離. 12分
連結C1 ,并在上取點,使//.
在中,,得.
∴點到平面的距離為. 14分
解法二:如圖,以D為坐標原點,建立空間直角坐標系.
由題設知正方體棱長為4,則、、
、、、. 1分
(I)設,. 3分
, . 4分
(II)由題設可得, , 故.
, 是平面
的法向量. 7分
. 8分
∴與平面D1DCC1所成角的正弦值為. 9分
(III),設平面D1DP的法向量,
∵.
則,即令,則
. 12分
點C到平面D1DP的距離為. 14分
(17)(共13分)
解(I)設事件“某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品”為事件M, 1分
依題意,答對一題的概率為,則
P(M)= 3分
=. 4分
(II)依題意,某人參加B種競猜活動,結束時答題數(shù)=1,2,…,6, 5分
則,,,,
, . 11分
所以,的分布列是
1
2
3
4
5
6
P
設,
則
∴,
∴ E==. 13分
答:某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率為;某人參加B種競猜活動,結束時答題數(shù)為,E為.
(18)(本小題共13分)
解;如圖,建立直角坐標系,依題意:設橢圓方
程為(a>b>0), 1分
(I)依題意: 4分
橢圓M的離心率大于0.7,所以.
橢圓方程為. 6分
(II)因為直線l過原點與橢圓交于點,設橢圓M的左焦點為.
由對稱性可知,四邊形是平行四邊形.
的面積等于的面積. 8分
∵
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