Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點 對稱，且在區(qū)間 上是單調函數(shù)，求φ和ω的值．

Answer 1

【答案】解：由f（x）是偶函數(shù)，得f（﹣x）=f（x）， 即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，
對任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依題設0≤φ≤π，所以解得φ= ，
由f（x）的圖象關于點M對稱，
得 ，
取x=0，得f（ ）=sin（ ）=cos ，
∴f（ ）=sin（ ）=cos ，
∴cos =0，
又w＞0，得 = +kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω= （2k+1），k=0，1，2，…
當k=0時，ω= ，f（x）=sin（ ）在[0， ]上是減函數(shù)，滿足題意；
當k=1時，ω=2，f（x）=sin（2x+ ）=cos2x，在[0， ]上是減函數(shù)，滿足題意；
當k=2時，ω= ，f（x）=sin（ x+ ）在[0， ]上不是單調函數(shù)；
所以，綜合得ω= 或2
【解析】由f（x）是偶函數(shù)可得的值，圖象關于點 對稱可得函數(shù)關系 ，可得ω的可能取值，結合單調函數(shù)可確定ω的值．