【題目】已知菱形ABCD的頂點A,C在橢圓x2+3y2=4上,對角線BD所在直線的斜率為1.
(1)當(dāng)直線BD過點(0,1)時,求直線AC的方程;
(2)當(dāng)∠ABC=60°時,求菱形ABCD面積的最大值.

【答案】
(1)解:由題意得直線BD的方程為y=x+1.

因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.

于是可設(shè)直線AC的方程為y=﹣x+n.

得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0.

因為A,C在橢圓上,

所以△=﹣12n2+64>0,解得

設(shè)A,C兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

,y1=﹣x1+n,y2=﹣x2+n.

所以

所以AC的中點坐標為

由四邊形ABCD為菱形可知,點 在直線y=x+1上,

所以 ,解得n=﹣2.

所以直線AC的方程為y=﹣x﹣2,即x+y+2=0.


(2)解:因為四邊形ABCD為菱形,且∠ABC=60°,

所以|AB|=|BC|=|CA|.

所以菱形ABCD的面積

由(1)可得 ,

所以

所以當(dāng)n=0時,菱形ABCD的面積取得最大值


【解析】(1)由題意得直線BD的方程,根據(jù)四邊形ABCD為菱形,判斷出AC⊥BD.于是可設(shè)出直線AC的方程與橢圓的方程聯(lián)立,根據(jù)判別式大于0求得n的范圍,設(shè)A,C兩點坐標分別為(x1 , y1),(x2 , y2),根據(jù)韋達定理求得x1+x2和x1x2 , 代入直線方程可表示出y1+y2 , 進而可得AC中點的坐標,把中點代入直線y=x+1求得n,進而可得直線AC的方程.(2)根據(jù)四邊形ABCD為菱形判斷出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|.進而可得菱形ABCD的面積根據(jù)n的范圍確定面積的最大值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點在橢圓 )上,設(shè), 分別為左頂點、上頂點、下頂點,且下頂點到直線的距離為.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)點, )為橢圓上兩點,且滿足,求證: 的面積為定值,并求出該定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn , 等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1 , b2=2,q=d,S10=100.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式
(2)當(dāng)d>1時,記cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點 對稱,且在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù),求φ和ω的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA的長為2,且PA與AB,AD的夾角都等于60°,M是PC的中點,設(shè) = , = =

(1)試用 , 表示出向量 ;
(2)求BM的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠A是銳角,且 b=2asinB.
(1)求∠A的度數(shù);
(2)若a=7,△ABC的面積為10 ,求b2+c2的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知向量 , 滿足:| |=2,| |=4
(1)若( =﹣20,求向量 的夾角及|3 + |
(2)在矩形ABCD中,CD的中點為E,BC的中點為F,設(shè) = , = ,試用向量 , 表示 ,并求 的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1 , 且AA1=AB=2.

(1)求證:AB⊥BC;
(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為 ,求銳二面角A﹣A1C﹣B的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所在的對邊,且a=4,b+c=5,tanB+tanC+ = tanBtanC,則△ABC的面積為(
A.
B.3
C.
D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案