【題目】已知橢圓:()的離心率為,且過點,橢圓的右頂點為.
(Ⅰ)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知過點的直線交橢圓于,兩點,且線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
試題(1)由橢圓的離心率為,且過點,列方程組,求解,即可;
(2)依題意,直線過點,①當(dāng)直線的斜率不為0時,可設(shè)其方程為,聯(lián)立消去得,由韋達定理、中點坐標(biāo)公式,結(jié)合已知條件能求出直線的斜率的取值范圍,②當(dāng)直線的斜率為0時,線段的中點與坐標(biāo)原點重合,的斜率為0.
試題解析:
(Ⅰ)依題意,,,,
解得,,,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)依題意,直線過點.①當(dāng)直線的斜率不為0時,可設(shè)其方程為,
聯(lián)立消去得,
設(shè)點,,,直線的斜率為,
故,,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,因為 ,故,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.
故,故且.
②當(dāng)直線的斜率為0時,線段的中點與坐標(biāo)原點重合,的斜率為0.
綜上所述,直線的斜率的取值范圍為.
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【題目】如圖所示,為了測量A、B處島嶼的距離,小海在D處觀測,A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛20海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西45°方向,則A、B兩島嶼的距高為___________海里.
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【題目】請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)AE=FB=xcm2
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm)最大,試問x應(yīng)取何值?
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。
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【題目】已知,當(dāng)點在的圖象上運動時,點在函數(shù)的圖象上運動.(其中).
(1)求的表達式;
(2)設(shè)集合,,若(為空集),求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),若函數(shù)()的值域為,求實數(shù)、的值.
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【題目】某飲料生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額,擬在2017年度進行一系列促銷活動,經(jīng)過市場調(diào)查和測算,飲料的年銷售量x萬件與年促銷費t萬元間滿足.已知2017年生產(chǎn)飲料的設(shè)備折舊,維修等固定費用為3萬元,每生產(chǎn)1萬件飲料需再投入32萬元的生產(chǎn)費用,若將每件飲料的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和,則該年生產(chǎn)的飲料正好能銷售完.
(1)將2017年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù);
(2)該企業(yè)2017年的促銷費投入多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大?
(注:利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費,生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用)
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【題目】橢圓的焦距是,長軸長是短軸長3倍,任作斜率為的直線與橢圓交于兩點(如圖所示),且點在直線的左上方.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求的面積;
(3)證明:的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。
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【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中,側(cè)棱底面,且,點是 的中點,連接、、.
(1)證明:平面;
(2)證明:平面.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;
(3)記陽馬的體積為,四面體的體積為,求的值.
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【題目】已知函數(shù),,
(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=3,且對任意的x1∈[-1,2],總存在,使g(x1)-f(x2)=0成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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