【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中，側棱底面，且，點是 的中點，連接、、.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；

（3）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；四面體是鱉臑，四個面的直角分別是、、、；（3）.

【解析】

（1）連接交于點，連接，則點為的中點，利用中位線的性質得到，然后再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）證明出平面，可得出，再利用三線合一的性質得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面，然后結合定義判斷出四面體是鱉臑，并寫出每個面的直角；

（3）利用錐體的體積公式計算出和的表達式，即可得出的值.

（1）連接，交于點，連接，則點為的中點，

又為的中點，，

又平面，平面，所以平面；

（2）因為底面，平面，所以.

由底面為長方形，有，而，所以平面.

平面，所以.

又因為，點是的中點，所以.

而，所以平面.

由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，

即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別是、、、；

（3）由已知，是陽馬的高，所以；

由（2）知，是鱉臑的高，，

所以.

在中，因為，點是的中點，所以，

于是 .

練習冊系列答案
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