【題目】橢圓的焦距是,長軸長是短軸長3倍,任作斜率為的直線與橢圓交于兩點(如圖所示),且點在直線的左上方.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求的面積;
(3)證明:的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上。
【答案】(1)
(2)
(3)的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上
【解析】
(1)由題意求出橢圓方程中的,得解;
(2)分別利用弦長公式及點到直線的距離公式求出三角形的底與高,再利用三角形面積公式求解即可;
(3)先證明,從而可得的角平分線平行軸,從而可證的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.
解:(1)由題意知:,得,又,
所以,
故橢圓的方程為:;
(2)設(shè)直線的方程為:,代入橢圓方程可得:,
設(shè),,則,
所以 ,
又,解得或,
由題意可得,
故所在直線方程為,即,
所以點到直線的距離,
故的面積為;
(3)設(shè)直線的方程為:,代入橢圓方程可得:,
設(shè),,則,
所以=,
又
,
即 ,所以的角平分線平行軸,
故的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
(1)當(dāng)a=2時,求證:﹣3≤f(x)≤3;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與圓相外切,且與直線相切.
(1)記圓心的軌跡為曲線,求的方程;
(2)過點的兩條直線與曲線分別相交于點和,線段和的中點分別為.如果直線與的斜率之積等于1,求證:直線經(jīng)過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,,,為邊的中點,將沿直線翻折成,設(shè)為線段的中點.則在翻折過程中,給出如下結(jié)論:
①當(dāng)不在平面內(nèi)時,平面;
②存在某個位置,使得;
③線段的長是定值;
④當(dāng)三棱錐體積最大時,其外接球的表面積為.
其中,所有正確結(jié)論的序號是______.(請將所有正確結(jié)論的序號都填上)
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【題目】點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù).
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過坐標(biāo)原點的直線交軌跡于,兩點,軌跡上異于,的點滿足直線的斜率為.
(。┳C明:直線與的斜率之積為定值;
(ⅱ)求面積的最大值.
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【題目】某省即將實行新高考,不再實行文理分科.某校為了研究數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀是否對選擇物理有影響,對該校2018級的1000名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,收集到相關(guān)數(shù)據(jù)如下:
(1)根據(jù)以上提供的信息,完成列聯(lián)表,并完善等高條形圖;
選物理 | 不選物理 | 總計 | |
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀 | |||
數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀 | 260 | ||
總計 | 600 | 1000 |
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與選物理有關(guān)?
附:
臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點,動點在圓上,過作軸的垂線,垂足為,點滿足.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)直線上的點滿足.過點作直線垂直于線段交于點.
(。┳C明:恒過定點;
(ⅱ)設(shè)線段交于點,求四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟復(fù)蘇,某電商平臺為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.為了對該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價,用不同的單價在平臺試銷,得到如下數(shù)據(jù):
單價(元/件) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量(萬件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若該產(chǎn)品成本是4元/件,假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出,預(yù)測把單價定為多少時,工廠獲得最大利潤?
(參考公式:回歸方程,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)證明:若存在零點,則在區(qū)間上僅有一個零點.
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