Question

【題目】已知，當(dāng)點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng).（其中）.

（1）求的表達(dá)式；

（2）設(shè)集合，，若（為空集），求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若函數(shù)（）的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)、的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3） ，.

【解析】

根據(jù)點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng),可得，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng),可得,由此可得,利用換元令,即可得到的表達(dá)式.

由可知與的表達(dá)式，因?yàn)?/span>，可得方程存在大于負(fù)2的實(shí)數(shù)解,分離參數(shù),使為關(guān)于的表達(dá)式，求出關(guān)于的函數(shù)的值域即可.

由可知的表達(dá)式,從而可得,利用函數(shù)和函數(shù)在的單調(diào)性可判斷出在上的單調(diào)性,從而可得在區(qū)間上的單調(diào)性,求出在區(qū)間上的最值,進(jìn)而得到關(guān)于的方程,解方程即可.

因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，且,

所以,令則,

所以.

因?yàn)?/span>,

所以,，

所以,

因?yàn)?/span>,所以存在使,

即存在使，

即方程有大于負(fù)2的實(shí)數(shù)根,

因?yàn)?/span>,

所以,

令則,

即,因?yàn)?/span>，所以,

所以的取值范圍為.

因?yàn)?/span>，所以 ，

所以,

所以,

因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)在上均為減函數(shù),

所以函數(shù)在上為減函數(shù),

因?yàn)?/span>,所以可得在區(qū)間上為減函數(shù),

所以,，

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>,

所以,

,

解得故所求的的值為