【題目】雙曲線：的左右頂點分別為，，動直線垂直的實軸，且交于不同的兩點，直線與直線的交點為.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點作的兩條互相垂直的弦，，證明：過兩弦，中點的直線恒過定點.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1) 設(shè) 則且，再求出直線的方程為，直線的方程為， 再消去即得點的軌跡的方程；

（2）先求出D的中點，的中點， 再證明過兩弦，中點的直線恒過定點.

（1）因為，

設(shè) 則且①，

因為動直線交雙曲線于不同的兩點，所以且，

因為直線的方程為②，

直線的方程為③，

②③得，

把①代入上式得，化簡得，

所以點的軌跡的方程為.

（2）依題意得直線與直線斜率均存在且不為0，

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，

聯(lián)立得，

則，設(shè)，

，，

所以的中點，

同理的中點，

所以直線的斜率為，

所以直線的方程為，

整理得，

所以直線恒過定點，即過兩弦中點的直線恒過定點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：若，則；

（2）當時，試討論函數(shù)的零點個數(shù).

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【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動．

（Ⅰ）求證：D1E⊥A1D；

（Ⅱ）在棱AB上是否存在點E使得AD1與平面D1EC成的角為？若存在，求出AE的長，若不存在，說明理由．

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【題目】對于無窮數(shù)列，若正整數(shù)，使得當時，有，則稱為“不減數(shù)列”.

(1)設(shè)，均為正整數(shù)，且，甲:為“不減數(shù)列”，乙:為“不減數(shù)列”.試判斷命題:“甲是乙的充分條件”的真假，并說明理由;

(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，數(shù)列滿足，，如果為“不減數(shù)列”，試求的最小值;

(3)對于（2）中的，設(shè)，且.是否存在實數(shù)使得為“不減數(shù)列”?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由.

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【題目】下圖是古希臘數(shù)學家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形、半徑為的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂點與的中點重合，斜邊在直線上.已知為的中點，現(xiàn)將該圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，分別為，和的中點，則下列關(guān)系：

①；

②平面；

③；

④平面，

正確的編號為___________________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】血藥濃度（Serum Drug Concentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度（單位：mg/ml），通常用血藥濃度來研究藥物的作用強度．下圖為服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的變化情況，其中點的橫坐標表示服用第種藥后血藥濃度達到峰值時所用的時間，其它點的橫坐標分別表示服用三種新藥后血藥濃度第二次達到峰值一半時所用的時間(單位：h)，點的縱坐標表示第種藥的血藥濃度的峰值．（）

①記為服用第種藥后達到血藥濃度峰值時，血藥濃度提高的平均速度，則中最大的是_______；

②記為服用第種藥后血藥濃度從峰值降到峰值的一半所用的時間，則中最大的是_______

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列結(jié)論正確的是（ ）．

A.“，互為共軛復數(shù)”是“”的充分不必要條件

B.如圖，在復平面內(nèi)，若復數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則復數(shù)對應(yīng)的點的坐標為

C.若函數(shù)恰在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為4

D.函數(shù)在點處的切線方程為

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