【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.
(Ⅰ)求證:D1E⊥A1D;
(Ⅱ)在棱AB上是否存在點E使得AD1與平面D1EC成的角為?若存在,求出AE的長,若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(2).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)要證,由正方形有,因此要證平面,而要證此線面垂直,只要證,這由長方體的性質(zhì)可得;(Ⅱ)假設存在,以D為原點,建立空間直角坐標系,寫出各點坐標,并設,用向量法求出AD1與平面D1EC成的角,從而求出,若能求出,說明存在,若不能求出,說明不存在.
試題解析:
(Ⅰ)證明:∵AE⊥平面AA1DD1,A1D平面AA1DD1,
∴AE⊥A1D,
∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,
∴A1D⊥AD1,
∵AE∩AD1=A,∴A1D⊥平面AED1,
∵D1E平面AED1,∴A1D⊥D1E.
(Ⅱ)解:以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,
設棱AB上存在點E(1,t,0),(0≤t≤2),使得AD1與平面D1EC成的角為,
A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),
=(﹣1,0,1),=(0,﹣2,1),=(1,t﹣2,0),
設平面D1EC的法向量為=(x,y,z),
則,取y=1,得=(t﹣1,1,2),
∴,
整理,得t2﹣10t+12=0,
解得或(舍),
∴在棱AB上存在點E使得AD1與平面D1EC成的角為,AE=.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓+y2=1上兩個不同的點A,B關于直線y=mx+對稱.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標原點).
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【題目】在平面直角坐標系中,以為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的參數(shù)方程為,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;
(2)求直線與曲線的交點的直角坐標.
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【題目】已知下列命題:
①意味著每增加一個單位,平均增加8個單位
②投擲一顆骰子實驗,有擲出的點數(shù)為奇數(shù)和擲出的點數(shù)為偶數(shù)兩個基本事件
③互斥事件不一定是對立事件,但對立事件一定是互斥事件
④在適宜的條件下種下一顆種子,觀察它是否發(fā)芽,這個實驗為古典概型
其中正確的命題有__________________.
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【題目】如圖,設P是圓上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為線段PD上一點,且,
(1)當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程;
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被軌跡C所截線段的長度.
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【題目】已知極點為直角坐標系的原點,極軸為x軸正半軸且單位長度相同的極坐標系中曲線C1:ρ=1, (t為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線C1上的點到曲線C2距離的最小值;
(Ⅱ)若把C1上各點的橫坐標都擴大為原來的2倍,縱坐標擴大為原來的 倍,得到曲線 .設P(﹣1,1),曲線C2與 交于A,B兩點,求|PA|+|PB|.
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【題目】已知,且,設函數(shù)在上單調(diào)遞減, 函數(shù)在上為增函數(shù), 為假, 為真,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設關于的一元二次方程.
(1)若從, , , 四個數(shù)中任取的一個數(shù), 是從, , 三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率;
(2)若是從區(qū)間上任取的一個數(shù), 是從區(qū)間上任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.
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