【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并給出證明;
(2)解不等式: ;
(3)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,比較f(2)+f(4)+…+f(2n)與2n(n∈N*)的大小關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)原不等式的解集為:(-∞,1)∪(4,+∞);(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)先求定義域,判斷關(guān)于原點是否對稱;再求,判斷與關(guān)系,最后根據(jù)奇偶性定義確定奇偶性(2)先根據(jù)定義確定函數(shù)單調(diào)性,再利用函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性化簡不等式,最后解不等式x2+x+3<2x2-4x+7,可得解集(3)由函數(shù)在上單調(diào)遞減,得g(x)<g(1)=0,再作差化簡得f(2)+f(4)+…+f(2n)-2n=ln(2n+1)-2n=ln(2n+1)-[(2n+1)-1],最后根據(jù)單調(diào)性得結(jié)果
試題解析:(1)函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
證明如下:由,解得x<-1或x>1,
所以函數(shù)的定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞)對任意的x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
有,
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則==, 因為x2>x1>1,所以x1x2+x2-x1-1>x1x2-(x2-x1)-1>0,
所以,所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x1)>f(x2),所以函數(shù)y=f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減;
由f(x2+x+3)+f(-2x2+4x-7)>0得:f(x2+x+3)>-f(-2x2+4x-7),
即f(x2+x+3)>f(2x2-4x+7),
又 ,2x2-4x+7=2(x-1)2+5>1 ,
所以x2+x+3<2x2-4x+7, 解得:x<1或x>4,
所以原不等式的解集為:(-∞,1)∪(4,+∞)
(3)f(2)+f(4)+…+f(2n)<2n(n∈N*).理由如下:
因為,
所以f(2)+f(4)+…+f(2n)-2n=ln(2n+1)-2n=ln(2n+1)-[(2n+1)-1],
又g(x)=lnx-(x-1)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x>1時,g(x)<g(1)=0,所以g(2n+1)<0,
即ln(2n+1)-[(2n+1)-1]<0,
故f(2)+f(4)+…+f(2n)<2n(n∈N).
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【題目】如圖所示,一個矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路,已知矩形花園長AD=5m,寬AB=3m,其中一條小路定為AC,另一條小路過點D,問如何在BC上找到一點M,使得兩條小路AC與DM相互垂直?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=﹣f(x),當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=﹣2x , 則f(log210)等于 .
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【題目】為了保護(hù)學(xué)生的視力,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下表:
天數(shù)/天 | 151~180 | 181~210 | 211~240 | 241~270 | 271~300 | 301~330 | 331~360 | 361~390 |
燈管數(shù)/只 | 1 | 11 | 18 | 20 | 25 | 16 | 7 | 2 |
(1)試估計這種日光燈的平均使用壽命;
(2)若定期更換,可選擇多長時間統(tǒng)一更換合適?
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【題目】新學(xué)年伊始,某中學(xué)學(xué)生社團(tuán)開始招新,某高一新生對“海濟(jì)公益社”、“理科學(xué)社”、“高音低調(diào)樂社”很感興趣,假設(shè)她能被這三個社團(tuán)接受的概率分別為 , , .
(1)求此新生被兩個社團(tuán)接受的概率;
(2)設(shè)此新生最終參加的社團(tuán)數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>0)的焦點在x軸上,且橢圓C的焦距為2. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點R(4,0)的直線l與橢圓C交于兩點P,Q,過P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點N,F(xiàn)為橢圓C的右焦點,求證:三點N,F(xiàn),Q在同一條直線上.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax+ ,函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點也在函數(shù)g(x)的圖象上,且在此點有公切線. (Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)試比較f(x)與g(x)的大小.
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【題目】已知函數(shù) 在區(qū)間[﹣ , ]上有f(x)>0恒成立,則a的取值范圍為( )
A.(0,2]
B.[2,+∞)
C.(0,5)
D.(2,5]
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【題目】已知,且,向量, .
(1)求函數(shù)的解析式,并求當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時, 的最大值為5,求的值;
(3)當(dāng)時,若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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