【題目】已知,且,向量, .
(1)求函數(shù)的解析式,并求當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時, 的最大值為5,求的值;
(3)當(dāng)時,若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) , 單調(diào)增區(qū)間為;(2)或;(3).
【解析】試題分析:(Ⅰ)化簡,解不等式求得的范圍即得增區(qū)間(2)討論a的正負,確定最大值,求a;(3)化簡絕對值不等式,轉(zhuǎn)化在上恒成立,即,求出在上的最大值,最小值即得解.
試題解析:
(1)
∵
∴
∴單調(diào)增區(qū)間為
(2)當(dāng)時,
若, ,∴
若, ,∴
∴綜上, 或.
(3)在上恒成立,
即在上恒成立,
∴
在上最大值2,最小值,
∴
∴的取值范圍.
點睛: 本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用,三角函數(shù)的單調(diào)性與最值,三角函數(shù)的化簡,恒成立問題的處理及分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性強.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并給出證明;
(2)解不等式: ;
(3)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,比較f(2)+f(4)+…+f(2n)與2n(n∈N*)的大小關(guān)系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論g(x)與 的大小關(guān)系;
(Ⅲ)求a的取值范圍,使得g(a)﹣g(x)< 對任意x>0成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點O為坐標原點,橢圓E: (a≥b>0)的右頂點為A,上頂點為B,過點O且斜率為 的直線與直線AB相交M,且 .
(Ⅰ)求橢圓E的離心率e;
(Ⅱ)PQ是圓C:(x﹣2)2+(y﹣1)2=5的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過P,Q兩點,求橢圓E的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度與時間的函數(shù)圖像如圖所示,過線段上一點作橫軸的垂線,梯形在直線左側(cè)部分的面積即為內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程.
(1)當(dāng)時,求的值;
(2)將隨變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若城位于地正南方向,且距地650,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到城?如果不會,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段A1B1,B1C1上的不與端點重合的動點,如果A1E=B1F,有下面四個結(jié)論:
①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF與AC異面;④EF∥平面ABCD.
其中一定正確的有( )
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
設(shè)某旅游景點每天的固定成本為500元,門票每張為30元,變動成本與購票進入旅游景點的人數(shù)的算術(shù)平方根成正比。一天購票人數(shù)為25時,該旅游景點收支平衡;一天購票人數(shù)超過100時,該旅游景點須另交保險費200元。設(shè)每天的購票人數(shù)為,盈利額為元。
(Ⅰ)求與之間的函數(shù)關(guān)系;
(Ⅱ)該旅游景點希望在人數(shù)達到20人時即不出現(xiàn)虧損,若用提高門票價格的措施,則每張門票至少要多少元(取整數(shù))?
(參考數(shù)據(jù):.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知菱形 ABCD 中,對角線 AC 與 BD 相交于一點 O,∠A=60°,將△BDC 沿著 BD 折起得△BDC',連結(jié) AC'.
(Ⅰ)求證:平面 AOC'⊥平面 ABD;
(Ⅱ)若點 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心,求直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值.
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