【題目】已知橢圓C: =1(a>0)的焦點(diǎn)在x軸上,且橢圓C的焦距為2. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)R(4,0)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)P,Q,過P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點(diǎn)N,F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn),求證:三點(diǎn)N,F(xiàn),Q在同一條直線上.

【答案】解:(Ⅰ)∵橢圓 的焦點(diǎn)在x軸上,

∴a2>7﹣a2,即 ,

∵橢圓C的焦距為2,且a2﹣b2=c2

∴a2﹣(7﹣a2)=1,解得a2=4,

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;

(Ⅱ)證明:由題知直線l的斜率存在,

設(shè)l的方程為y=k(x﹣4),點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,﹣y1),

得3x2+4k2(x﹣4)2=12,

即(3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0,△>0, ,

由題可得直線QN方程為 ,

又∵y1=k(x1﹣4),y2=k(x2﹣4),

∴直線QN方程為

令y=0,整理得 =

= = ,

即直線QN過點(diǎn)(1,0),

又∵橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),

∴三點(diǎn)N,F(xiàn),Q在同一條直線上.


【解析】(Ⅰ)由橢圓的焦點(diǎn)位置分析可得a2>7﹣a2,進(jìn)而由橢圓的幾何性質(zhì)可得a2﹣(7﹣a2)=1,解可得a的值,代入橢圓的方程即可得答案;(Ⅱ)分析可得直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x﹣4),聯(lián)立直線與橢圓的方程,由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得直線QN方程,令y=0,可得直線QN過點(diǎn)(1,0),由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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③設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,22),則p(ξ>4)=
④對(duì)分類變量X與Y,若它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越小,則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.
其中正確的說法是(
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