【題目】已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn).
(1)若 =3 ,求直線AB的斜率;
(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,求四邊形OACB面積的最小值.

【答案】
(1)

解:由拋物線y2=4x的焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),

設(shè)直線AB的方程為:x=my+1,

,整理得:y2﹣4my﹣4=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

由韋達(dá)定理可知:y1+y2=4m,y1y2=﹣4,

=(1﹣x1,﹣y1), =(x2﹣1,y2),

=3

∴﹣y1=3y2,整理得:m2= ,解得:m=± ,

∴直線AB的斜率k= ,

直線AB的斜率 或﹣


(2)

解:由(1)可知:丨y1﹣y2丨= = =4 ,

四邊形OACB面積SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨=4 ≥4,

當(dāng)m=0時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值為4.


【解析】(1)由題意可知:設(shè)直線AB的方程為:x=my+1,代入拋物線方程,由韋達(dá)定理可知:y1+y2=4m,y1y2=﹣4,則 =(1﹣x1 , ﹣y1), =(x2﹣1,y2),由 =3 ,﹣y1=3y2 , 解得:m=± ,即可求得直線AB的斜率;(2)由(1)可知:丨y1﹣y2丨= = =4 ,則四邊形OACB面積SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨,即可求得4 ≥4,當(dāng)m=0時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值為4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.
C.
D.

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(1)求橢圓E的離心率;
(2)已知點(diǎn)D(1,0)為線段OF2的中點(diǎn),M 為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A、B),連接MF1并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)N,連接MD、ND并分別延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P、Q,連接PQ,設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2 , 試問(wèn)是否存在常數(shù)λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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用煤/噸

用電/千瓦

產(chǎn)值/萬(wàn)元

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7

2

8

乙種產(chǎn)品

3

5

11

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