【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知F1 , F2分別是橢圓E: 的左、右焦點,A,B分別是橢圓E的左、右頂點,且

(1)求橢圓E的離心率;
(2)已知點D(1,0)為線段OF2的中點,M 為橢圓E上的動點(異于點A、B),連接MF1并延長交橢圓E于點N,連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q,連接PQ,設直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2 , 試問是否存在常數(shù)λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:∵ ,∴

∴a+c=5(a﹣c),化簡得2a=3c,

故橢圓E的離心率為


(2)解:存在滿足條件的常數(shù)λ,

∵點D(1,0)為線段OF2的中點,∴c=2,從而a=3, ,

左焦點F1(﹣2,0),橢圓E的方程為

設M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),則直線MD的方程為 ,

代入橢圓方程 ,整理得,

,∴

從而 ,故點 .同理,點

∵三點M、F1、N共線,∴ ,從而x1y2﹣x2y1=2(y1﹣y2).

從而

,從而存在滿足條件的常數(shù)λ,


【解析】(1)由 ,得 ,從而有a+c=5(a﹣c),結合離心率定義即可求得答案;(2)由點D(1,0)為線段OF2的中點可求得c值,進而可求出a值、b值,得到橢圓方程,設M(x1 , y1),N(x2 , y2),P(x3 , y3),Q(x4 , y4),則直線MD的方程為 ,與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理可把P、Q坐標用M、N坐標表示出來,再根據(jù)三點M、F1、N共線及斜率公式可得k1、k2間的關系式,由此可得答案.

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50歲以上

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30

20

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