Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC= ，BC=3，M，N分別為B1C1、AA1的中點(diǎn)．

（1）求證：平面ABC1⊥平面AA1C1C；
（2）求證：MN∥平面ABC1 ， 并求M到平面ABC1的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

又三棱柱中，有AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥AB，

又 AC∩AA1=A，

∴AB⊥平面AA1C1C，

∵AB平面ABC1，

∴平面ABC1⊥平面AA1C1C

（2）證明：取BB1中點(diǎn)D，∵M(jìn)為B1C1中點(diǎn)，

∴MD∥BC1（中位線），

又∵N為AA1中點(diǎn)，四邊形ABB1A1為平行四邊形，

∴DN∥AB（中位線），

又MD∩DN=D，

∴平面MND∥平面ABC1．

∵M(jìn)N平面MND，

∴MN∥平面ABC1．

∴N到平面ABC1的距離即為M到平面ABC1的距離．

過N作NH⊥AC1于H，

∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

∴NH⊥平面ABC1，

又根據(jù)△ANH∽△AC1A1

∴ ．

∴點(diǎn)M到平面ABC1的距離為 ．

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，先證直線AB⊥平面AA1C1C，再根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ABC1⊥平面AA1C1C．（2）根據(jù)面面平行的判定定理，先證平面MND∥平面ABC1 ， 再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得出MN∥平面ABC1 ，
求M到平面ABC1的距離，則根據(jù)性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求N到平面ABC1的距離．作出點(diǎn)N作出平面ABC1的垂線，并根據(jù)相似求出垂線段的長度．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．