Question

如圖，四邊形ABCD、BCFE、CDGF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，M為棱AE上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）若M為AE的中點(diǎn)，求證：AE⊥面MBC；
（Ⅱ）若M不為AE的中點(diǎn)，設(shè)二面角B-MC-A的大小為α，直線BE與平面BMC所成的角為β，求|

sin(β- π 4 )

cosα

|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)AB=AE，M是AE的中點(diǎn)，推斷出MB⊥AE，又有BC⊥AB，BC⊥BE，根據(jù)線面垂直的判定定理知BC⊥平面ABE，進(jìn)而可知BC⊥AE，最后根據(jù)線面垂直的判定定理知．AE⊥平面MBC．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，BA，BC，BE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M的坐標(biāo)，及平面MBC的法向量為

n

，根據(jù)

BM • n =0 BC • n =0

，推斷出

λx+(1-λ)z=0 y=0

，令x=λ-1，z=λ解得

n

，顯然能求得平面MAC的法向量

m

，進(jìn)而分別表示出sinβ和cosα，帶入|

sin(β- π 4 )

cosα

|即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵AB=AE，M是AE的中點(diǎn)，
∴MB⊥AE，
又BC⊥AB，BC⊥BE，
∴BC⊥平面ABE，
∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面MBC．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，BA，BC，BE分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵M(jìn)在AE上，設(shè)M（λ，0，1-λ）（0≤λ≤1），
設(shè)平面MBC的法向量為

n

=（x，y，z），∵

BM • n =0 BC • n =0

，
∴

λx+(1-λ)z=0 y=0

，令x=λ-1，z=λ，解得

n

=（λ-1，0，λ），
顯然平面MAC的法向量

m

=（1，1，1），
∴|cosα|=

| n • m |

| n| •| m|

=

|2λ-1|

3 (λ-1)2+λ2

，
∴sinβ=

| BE • n|

| BE| •| n|

=

|λ|

(λ-1)2+λ2

，
∴|

sin(β- π 4 )

cosα

|=

2 2 |sinβ-cosβ|

cosα

=

2 2 | λ (λ-1)2+λ2 - 1-λ (λ-1)2+λ2 |

|2λ-1| 3 • (λ-1)2+λ2

=

6

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理，法向量的應(yīng)用，以及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，屬于難度較大的題．