Question

已知直角梯形ABCD的下底與等腰直角三角形ABE的斜邊重合，AB⊥BC，且AB=2CD=2BC（如圖1），將此圖形沿AB折疊成直二面角，連接EC、ED，得到四棱錐E-ABCD（如圖2）．
（1）求證：在四棱錐E-ABCD中，AB⊥DE．
（2）設(shè)BC=1，求點(diǎn)C到平面EBD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，根據(jù)AB=2CD推斷出BE=CD=BC又BE∥CD，推斷出四邊形BCDE為正方形，推斷出DF⊥AB，根據(jù)BE=AE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，推斷出EF⊥AB，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理推斷出AB⊥平面DEF，進(jìn)而可知AB⊥DE．
（2）根據(jù)BC，分別求得AB，BE，DB，EF，DF，判斷出△BDE為等邊三角形，邊長(zhǎng)為

2

，求得其面積，最后根據(jù)S_E-BCD=S_C-BDE，求得點(diǎn)C到平面EBD的距離．

解答： 解：（1）作AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，
∵AB=2CD，
∴BE=CD=BC，
∵BE∥CD，
∴四邊形BCDE為正方形，
∴DF⊥AB，
∵BE=AE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，
∴EF⊥AB，
∴AB⊥平面DEF，
∵DE?平面DEF，
∴AB⊥DE．
（2）∵BC=1，
∴AB=2BC=2，BE=

2

2

=

2

，BD=

2

BC=

2

，F(xiàn)E=BF=1，DF=BC=1
∴DE=

2

EF=

2

，
∴△BDE為等邊三角形，邊長(zhǎng)為

2

，
∴S_△BDE=

1

2

×

6

2

×

2

=

3

2

．
∵EF⊥AB，平面EAB⊥平面ABCD，
∴EF⊥面ABCD，即EF為點(diǎn)E到平面ABCD的距離，
∴S_E-BCD=

1

3

•EF•S_△BCD=

1

3

×1×

1

2

=

1

6

，
設(shè)點(diǎn)C到平面EBD的距離為d，
則S_E-BCD=

1

3

•d•S_△BDE=

1

3

•d•

3

2

=

1

6

，
∴d=

3

3

，即點(diǎn)C到平面EBD的距離為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)，棱錐的體積，點(diǎn)到面的距離的計(jì)算．在第二問(wèn)中利用了等體積法求得點(diǎn)到面的距離．