Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅲ）求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）利用線線垂直證明線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面PAD⊥平面PAB；
（II）過P作PH⊥BA，交BA的延長線于H，可證PH⊥平面ABCD，求得PH，利用棱錐的體積公式計算；
（III）由（II）可證∠PAH為PC與平面ABCD所成的角，求得PC的長，在Rt△PHC中，求sin∠PCH的值．

解答： 解：（I）證明：∵∠PBC=90°，∴BC⊥PB，
∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB，又AB∩PB=B，
∴BC⊥平面PAB，∵AD∥BC，
∴AD⊥平面PAB，AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB；
（II）過P作PH⊥BA，交BA的延長線于H，
∵AD⊥平面PAB，∴PH⊥AD，AD∩BA=A，
∴PH⊥平面ABCD，∵，∠PAB=120°，PA=1，
∴AH=

1

2

，PH=

3

2

，∴V_P-ABCD=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

；
（III）連接CH，∵PH⊥平面ABCD，∴CH為PC在平面ABCD中的射影，
∴∠PAH為PC與平面ABCD所成的角，
PB=

PH2+BH2

=

3 4 + 25 4

=

7

，
PC=

7+1

=2

2

，
在Rt△PHC中，sin∠PCH=

PH

PC

=

3 2

2 2

=

6

8

．
∴直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為

6

8

．

點評：本題考查了面面垂直的證明，考查了棱錐的體積計算及直線與平面所成角的求法，考查了學生的空間想象能力及推論論證能力，綜合性強．