Question

在平面直角坐標系中，點A（-1，0），B（1，0），動點P滿足

PA

•

PB

=2|

OP

|²-2，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）由點C（-2，0）向（1）中的動點P所形成的曲線引割線l，交曲線于E、F，求

BE

•

BF

范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設P（x，y），代入

PA

•

PB

=2|

OP

|²-2并整理可得動點P的軌跡方程；
（2）設割線l：y=k（x+2），與x²+y²=1聯(lián)立，得（1+k²）x²+4k²x+4k²-1=0，由△＞0得k范圍，設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理及向量數(shù)量積運算可把

BE

•

BF

化為k的表達式，借助函數(shù)單調性可求范圍；

解答： 解：（1）設P（x，y），則

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，-y），

OP

=（x，y），
由

PA

•

PB

=2|

OP

|²-2，得（-1-x，-y）•（1-x，-y）=2（x²+y²）-2，整理得x²+y²=1，
∴動點P的軌跡方程為x²+y²=1；
（2）由題意可設割線l：y=k（x+2），與x²+y²=1聯(lián)立，得
（1+k²）x²+4k²x+4k²-1=0，
則△=16k⁴-4（1+k²）（4k²-1）＞0，得0≤k2＜

1

3

，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
x1+x2=

-4k2

1+k2

，x1x2=

4k2-1

1+k2

，y₁y₂=k（x₁+2）（x₂+2）=k²[x₁x₂+2（x₁+x₂）+4]=

3k2

1+k2

，
∴

BE

•

BF

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=（k²+1）x₁x₂+（2k²-1）（x₁+x₂）+4k²+1
=

12k2

1+k2

=12-

12

1+k2

，
∵0≤k2＜

1

3

，
∴0≤12-

12

1+k2

＜12-

12

1+ 1 3

=3，
∴

BE

•

BF

范圍為[0，3）．

點評：該題考查軌跡方程的求解、直線與圓的位置關系、向量數(shù)量積運算等知識，解決（2）問的關鍵是準確表示

BE

•

BF

為k的函數(shù)．