設(shè)M、N為拋物線C:y=x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2,與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),且l1與l2相交于點(diǎn)P,若|AB|=1.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求證:△MNP的面積為一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值.
(1)y=x2-1   (2)見解析
(1)設(shè)M(m,m2),N(n,n2),則依題意知,切線l1,l2的方程分別為y=2mx-m2,y=2nx-n2,則A(,0),B(,0).
設(shè)P(x,y),由,得
因?yàn)閨AB|=1,所以|n-m|=2,
即(m+n)2-4mn=4,將①代入上式,得
y=x2-1.
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y=x2-1.
(2)證明:設(shè)直線MN的方程為y=kx+b(b>0).
聯(lián)立方程
消去y,得x2-kx-b=0.
所以m+n=k,mn=-b.②
點(diǎn)P到直線MN的距離
d=,
|MN|=|m-n|,
∴SMNPd·|MN|
|k()-mn+b|·|m-n|
·(m-n)2·|m-n|=2.
即△MNP的面積為定值2.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.      B.2          C.      D.4

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設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),,則的取值范圍是    .

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