Question

已知矩陣M=的兩個(gè)特征值分別為λ1=﹣1和λ2=4．

（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）求直線x﹣2y﹣3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）5x﹣7y+12=0．

【解析】

試題分析：（1）先寫出矩陣A的特征多項(xiàng)式，再結(jié)合由于λ1=﹣1和λ2=4是此函數(shù)的零點(diǎn)即可求得a，b．

（2）先直線x﹣2y﹣3=0上任一點(diǎn)（x，y）在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像（x′，y′），根據(jù)矩陣變換得出它們之間的關(guān)系，從而求直線x﹣2y﹣3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程．

【解析】
（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式為：f（λ）=，

即f（λ）=λ2﹣（b+2）λ+2b﹣2a，

由于λ1=﹣1和λ2=4是此函數(shù)的零點(diǎn)，

∴⇒

（2）由上知，M=，

設(shè)直線x﹣2y﹣3=0上任一點(diǎn)（x，y）

在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像（x′，y′），

由=得到：，

代入x﹣2y﹣3=0化簡得到5x′﹣7y′+12=0．

直線x﹣2y﹣3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程5x﹣7y+12=0．