Question

【題目】設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.

（1）求的值；

（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，若對于任意，不等式恒成立，且存在唯一的實(shí)數(shù)使得成立，求的值；

（3）是否存在負(fù)數(shù)，使得是曲線的切線.若存在，求出的所有值：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出，再由，即可求出值；

（2）由（1）的結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，即為，通過導(dǎo)數(shù)法求出，求出的取值范圍，再由唯一解，求出的值；

（3）設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求出切線斜率，結(jié)合已知得，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入，整理得到關(guān)于的方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程正數(shù)解的情況，即為與直線在第一象限交點(diǎn)情況，通過求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，以及最值，即可求解.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

故.

（2）因?yàn)?/span>，

所以恒成立.

記，

則，

因?yàn)?/span>，且，

所以，

因此為時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以，即，

當(dāng)時(shí)，，

故方程無解，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性知

所以存在唯一的使得，即.

（3）設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則

，即，

，即

原命題等價(jià)于存在正數(shù)使得方程成立.

記，

則，

令，則，

因此當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，

則.

故存在唯一的正數(shù)使得方程成立，

即存在唯一的負(fù)數(shù)，

使得是曲線的切線.