【題目】已知橢圓過點(diǎn),右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)已知動直線過右焦點(diǎn),且與橢圓分別交于,兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,說明理由.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

(1) 由橢圓過點(diǎn),得,由拋物線的焦點(diǎn)為,得,利用即可求解a則方程可求;(2)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由,解得;當(dāng)直線的斜率為0時(shí),由,解得,可得,得點(diǎn)的坐標(biāo)為.再證明當(dāng)時(shí)恒成立. 設(shè)直線的斜率存在且不為0時(shí),其方程為,與橢圓聯(lián)立消去y得韋達(dá)定理,向量坐標(biāo)化得整理代入韋達(dá)定理即可

(1)因?yàn)闄E圓過點(diǎn),所以,

又拋物線的焦點(diǎn)為,所以.

所以,解得(舍去)或.

所以橢圓的方程為.

(2)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使得.

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則,,

,解得

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí),則,,,

,解得.

由①②可得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

下面證明當(dāng)時(shí),恒成立.

當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí),由①②知結(jié)論成立.

當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)其方程為,,.直線與橢圓聯(lián)立得,

直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且.

,

所以

恒成立

綜上所述,在軸上存在點(diǎn),使得恒成立.

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