【題目】設等比數(shù)列{an}的前項n和Sn , a2= ,且S1+ ,S2 , S3成等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=2n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設cn=anbn , 若對任意n∈N+ , 不等式c1+c2+…+cn≥ λ+2Sn﹣1恒成立,求λ的取值范圍.
【答案】
(1)解:設數(shù)列{an}的公比為q,
∵ 成等差數(shù)列,∴ ,∴ ,
∵ ,∴ ,∴ ,
∴
(2)解:設數(shù)列{cn}的前項n和為Tn,則Tn=c1+c2+c3+…+cn,
又 ,
∴ , ,
兩式相減得 ,
∴ ,
又 ,
∴對任意n∈N+,不等式 恒成立等價于 恒成立,
即 恒成立,即 恒成立,
令 , ,
∴f(n)關于n單調遞減,∴ ,∴λ≤2,
∴λ的取值范圍為(﹣∞,2]
【解析】(1)由S1+ ,S2 , S3成等差數(shù)列,可得 ,化簡為 ,又因為 ,解得a1和q,即可求出等比數(shù)列{an}的通項公式;(2)因為{an}是等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,而cn=anbn , 故利用錯位相減法即可求出Tn=c1+c2+…+cn , 將Tn和Sn代入不等式,并整理得 ,記f(n)= ,
利用作差法可得f(n)關于n單調遞減,則f(n)max=f(1)=1,故 ,即λ≤2.
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一個函數(shù)的是( )
A.
B.
C.f(x)=x,g(x)=(x﹣1)0
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列四組函數(shù),表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)= ,g(x)=x
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=lnx2 , g(x)=2lnx
D.f(x)=logaax(a>0,a≠1),g(x)=
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司即將推車一款新型智能手機,為了更好地對產(chǎn)品進行宣傳,需預估市民購買該款手機是否與年齡有關,現(xiàn)隨機抽取了50名市民進行購買意愿的問卷調查,若得分低于60分,說明購買意愿弱;若得分不低于60分,說明購買意愿強,調查結果用莖葉圖表示如圖所示.
(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為市民是否購買該款手機與年齡有關?
購買意愿強 | 購買意愿弱 | 合計 | |
20~40歲 | |||
大于40歲 | |||
合計 |
(2)從購買意愿弱的市民中按年齡進行分層抽樣,共抽取5人,從這5人中隨機抽取2人進行采訪,記抽到的2人中年齡大于40歲的市民人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
附: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一種放射性元素,最初的質量為500克,按每年10%衰減.
(1)求t年后,這種放射性元素的質量w的表達式;
(2)用求出的函數(shù)表達式,求這種放射性元素的半衰期.(放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變時所需要的時間,叫“半衰期”)(lg0.5≈﹣0.3010,lg0.9≈﹣0.0458,結果精確到0.1).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=2,AC= ,BC=3,M,N分別為B1C1、AA1的中點.
(1)求證:平面ABC1⊥平面AA1C1C;
(2)求證:MN∥平面ABC1 , 并求M到平面ABC1的距離.
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