Question

【題目】已知f（x）= ，（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域．
（2）證明f（x）為奇函數(shù)．
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定義域?yàn)椋簕x| }，

解得f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定義域?yàn)閧x|﹣1＜x＜1}

（2）解：∵f（x）= ，（a＞0，且a≠1），

∴f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

∴f（x）為奇函數(shù)

（3）解：∵f（x）= ，（a＞0，且a≠1），

∴由f（x）＞0，得 ，

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有0＜ ＜1，解得﹣1＜x＜0；

當(dāng)a＞1時(shí)，有 ＞1，解得0＜x＜1；

∴當(dāng)a＞1時(shí)，使f（x）＞0成立的x的取值范圍是（0，1），

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，使f（x）＞0成立的x的取值范圍是（﹣1，0）

【解析】（1）f（x）= ，（a＞0，且a≠1）的定義域?yàn)椋簕x| }，由此能求出結(jié)果．（2）由f（x）= ，（a＞0，且a≠1），知f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），由此能證明f（x）為奇函數(shù)．（3）由f（x）＞0，得 ，對a分類討論可得關(guān)于x的方程，由此能求出使f（x）＞0成立的x的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．