Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+ （a＞1）
（1）證明：函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）用反證法證明f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由于函數(shù)f（x）=ax+ （a＞1）=ax+1﹣ ，

而函數(shù) y=ax（a＞1）和函數(shù)y=﹣ 在（﹣1，+∞）上都為增函數(shù)，

故函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)

（2）證明：假設(shè)f（x）=0有負(fù)數(shù)根為x=x0，且x0＜0，則有f（x0）=0，故有 +1= ①．

由于函數(shù)y=ax+1在R上是增函數(shù)，且a0+1=2，∴ +1＜2．

由于函數(shù)y= 在（﹣1，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)x0∈（﹣1，0）時， =3，∴ ＞3，

∴①根本不可能成立，故①矛盾．

由于由于函數(shù)y= 在（﹣∞，﹣1）上是減函數(shù)，當(dāng)x0∈（﹣∞，﹣1）時， ＜0，

而， +1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．

綜上可得，①根本不可能成立，故假設(shè)不成立，故f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

【解析】（1）由于函數(shù)f（x）=ax+1﹣ ，而函數(shù) y=ax（a＞1）和函數(shù)y=﹣ 在（﹣1，+∞）上都為增函數(shù)，可得函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)．（2）假設(shè)f（x）=0有負(fù)數(shù)根為x=x0＜0，則有 +1= ①．分當(dāng)x0∈（﹣1，0）時、當(dāng)x0∈（﹣∞，﹣1）兩種情況，分別根據(jù) 和 +1 的范圍，可得①根本不可能成立，綜上可得假設(shè)不成立，命題得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和反證法與放縮法的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項(xiàng)②將分子或分母放大（縮小)才能正確解答此題．