【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°且AD=CD,BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.
(1)證明:AC⊥B1D.
(2)求BC1與平面B1C1D所成角的正弦值.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析.(2)
【解析】
(1)設(shè)相交于,通過(guò)證明,證得,由此證得,根據(jù)平面,證得,由此證得平面,進(jìn)而證得.
(2)以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)直線的方向向量和平面的法向量,求得線面角的正弦值.
(1)證明:設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,
∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,
又∠BAD=∠BCD,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=AC,
∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,
∴△AOD≌△COD,∴∠AOD=∠COD=90°,
∴AC⊥BD,
又BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴AC⊥BB1,又BD∩BB1=B,
∴AC⊥平面BDB1,又B1D平面BDB1,
∴AC⊥B1D.
(2)由(1)知,所以,所以,所以.以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,所以,,所以.設(shè)平面的法向量為,則,即,令得,設(shè)直線與平面所成角為,則
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化,每一卦由六爻組成.其中有一種起卦方法稱為“金錢(qián)起卦法”,其做法為:取三枚相同的錢(qián)幣合于雙手中,上下?lián)u動(dòng)數(shù)下使錢(qián)幣翻滾摩擦,再隨意拋撒錢(qián)幣到桌面或平盤(pán)等硬物上,如此重復(fù)六次,得到六爻.若三枚錢(qián)幣全部正面向上或全部反面向上,就稱為變爻.若每一枚錢(qián)幣正面向上的概率為,則一卦中恰有兩個(gè)變爻的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】足球是當(dāng)今世界傳播范圍最廣、參與人數(shù)最多的體育運(yùn)動(dòng),具有廣泛的社會(huì)影響,深受世界各國(guó)民眾喜愛(ài).
(1)為調(diào)查大學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān),隨機(jī)選取50名大學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,當(dāng)問(wèn)卷評(píng)分不低于80分則認(rèn)為喜歡足球,當(dāng)評(píng)分低于80分則認(rèn)為不喜歡足球,這50名大學(xué)生問(wèn)卷評(píng)分的結(jié)果用莖葉圖表示如圖:
請(qǐng)依據(jù)上述數(shù)據(jù)填寫(xiě)如下列聯(lián)表:
喜歡足球 | 不喜歡足球 | 總計(jì) | |
女生 | |||
男生 | |||
總計(jì) |
請(qǐng)問(wèn)是否有 的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān)?
參考公式及數(shù)據(jù):,.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)已知某國(guó)“糖果盒”足球場(chǎng)每年平均上座率與該國(guó)成年男子國(guó)家足球隊(duì)在國(guó)際足聯(lián)的年度排名線性相關(guān),數(shù)據(jù)如表,,,
年度排名 | 9 | 6 | 3 | ||
平均上座率 | 0.9 | 0.91 | 0.92 | 0.93 | 0.95 |
求變量與的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)排名為1時(shí)該球場(chǎng)的上座率.
參考公式及數(shù)據(jù):,;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問(wèn)5分,(Ⅱ)小問(wèn)8分.)
甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽:第一局由甲、乙參加而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽,而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求:(Ⅰ)打滿3局比賽還未停止的概率;(Ⅱ)比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)求出函數(shù)在R上的解析式;
(2)畫(huà)出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間.
(3)求使時(shí)的的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】大學(xué)先修課程是在高中開(kāi)設(shè)的具有大學(xué)水平的課程,旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練,為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來(lái)的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備.某高中成功開(kāi)設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年,共有人參與學(xué)習(xí)先修課程,這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了高校的自主招生考試(滿分分),結(jié)果如下表所示:
分?jǐn)?shù) | |||||
人數(shù) | |||||
參加自主招生獲得通過(guò)的概率 |
(1)這兩年學(xué)校共培養(yǎng)出優(yōu)等生人,根據(jù)圖中等高條形圖,填寫(xiě)相應(yīng)列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表檢驗(yàn)?zāi)芊裨诜稿e(cuò)的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系?
優(yōu)等生 | 非優(yōu)等生 | 總計(jì) | |
學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程 | |||
沒(méi)有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程 | |||
總計(jì) |
(2)已知今年全校有名學(xué)生報(bào)名學(xué)習(xí)大學(xué)選項(xiàng)課程,并都參加了高校的自主招生考試,以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績(jī)的頻率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績(jī)的概率.
(i)在今年參與大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中任取一人,求他獲得高校自主招生通過(guò)的概率;
(ii)某班有名學(xué)生參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí),設(shè)獲得高校自主招生通過(guò)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若與相交于兩點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中,問(wèn)卷的設(shè)計(jì)是一門(mén)很大的學(xué)問(wèn),特別是對(duì)一些敏感性問(wèn)題.例如學(xué)生在考試中有無(wú)作弊現(xiàn)象,社會(huì)上的偷稅漏稅等.更要精心設(shè)計(jì)問(wèn)卷.設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮,使他們能夠如實(shí)回答問(wèn)題,否則被調(diào)查者往往會(huì)拒絕冋答,或不提供真實(shí)情況,為了調(diào)查中學(xué)生中的早戀現(xiàn)象,隨機(jī)抽出300名學(xué)生,調(diào)查中使用了兩個(gè)問(wèn)題.①你的學(xué)籍號(hào)的最后一位數(shù)是奇數(shù)(學(xué)籍號(hào)的后四位是序號(hào));②你是否有早戀現(xiàn)象,讓被調(diào)查者從裝有4個(gè)紅球,6個(gè)黑球(除顏色外完全相同)的袋子中隨機(jī)摸取兩個(gè)球.摸到兩球同色的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題,摸到兩球異色的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題,回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子,回答“否”的人什么都不放,后來(lái)在盒子中收到了78個(gè)小石子.
(1)你能否估算出中學(xué)生早戀人數(shù)的百分比?
(2)若從該地區(qū)中學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)班(40人),設(shè)其中恰有個(gè)人存在早戀的現(xiàn)象,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)業(yè)觀光區(qū)的平面示意圖如圖所示,其中矩形的長(zhǎng)千米,寬千米,半圓的圓心為中點(diǎn),為了便于游客觀光休閑,在觀光區(qū)鋪設(shè)一條由圓弧、線段、組成的觀光道路,其中線段經(jīng)過(guò)圓心,點(diǎn)在線段上(不含線段端點(diǎn)、),已知道路、的造價(jià)為每千米萬(wàn)元,道路造價(jià)為每千米 萬(wàn)元,設(shè),觀光道路的總造價(jià)為.
(1)試求與的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出的取值范圍;
(2)當(dāng)為何值時(shí),觀光道路的總造價(jià)最小.
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