【題目】如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.
(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓內的點都不是“C1—C2型點”.
【答案】見解析
【解析】
(1)C1的左焦點為,過F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點為“C1-C2型點”,且直線可以為;
(2)直線與C2有交點,則
,若方程組有解,則必須;
直線與C2有交點,則
,若方程組有解,則必須
故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點,即原點不是“C1-C2型點”.
(3)顯然過圓內一點的直線若與曲線C1有交點,則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點,則
直線與圓內部有交點,故
化簡得,①
若直線與曲線C1有交點,則
化簡得,②
由①②得,
但此時,因為,即①式不成立;
當時,①式也不成立
綜上,直線若與圓內有交點,則不可能同時與曲線C1和C2有交點,
即圓內的點都不是“C1-C2型點” .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(3’+7’+8’)已知以a1為首項的數(shù)列{an}滿足:an+1=.
(1)當a1=1,c=1,d=3時,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)當0<a1<1,c=1,d=3時,試用a1表示數(shù)列{an}的前100項的和S100;
(3)當0<a1<(m是正整數(shù)),c=,d≥3m時,求證:數(shù)列a2-,a3m+2-,a6m+2-,a9m+2-成等比數(shù)列當且僅當d=3m.
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【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點P(﹣1,)在橢圓C上,且|PF2|.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點F2的直線l與橢圓C交于A,B兩點,M為線段AB的中點,若橢圓C上存在點N,滿足3(O為坐標原點),求直線l的方程.
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【題目】設橢圓的焦點在軸上.
(1)若橢圓的焦距為1,求橢圓的方程;
(2)設分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上的第一象限內的點,直線交軸與點,并且,證明:當變化時,點在某定直線上.
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【題目】已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過點(,1),且離心率e.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點,且滿足∠AOB=90°(O為坐標原點),求|AB|的取值范圍.
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【題目】(Ⅰ)設x≥1,y≥1,證明x+yxy;
(Ⅱ)1≤a≤b≤c,證明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.
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【題目】已知拋物線,為其焦點,為其準線,過任作一條直線交拋物線于兩點,、分別為、在上的射影,為的中點,給出下列命題:
(1);(2);(3);
(4)與的交點的軸上;(5)與交于原點.
其中真命題的序號為_________.
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