Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，點P（﹣1，）在橢圓C上，且|PF2|．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點F2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，M為線段AB的中點，若橢圓C上存在點N，滿足3（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）．（2）xy﹣1＝0或xy﹣1＝0．

【解析】

（1）根據題意得①，②，③，由①②③組成方程組，解得，，進而得橢圓的方程．

（2）設直線的方程為，，，，，聯立直線與橢圓的方程得關于的一元二次方程，結合韋達定理得，，從而得線段中點坐標，點的坐標，將其代入橢圓方程，可解得，進而得出直線的方程．

解：（1）因為點在橢圓上，且．

所以，①

，解得，②

又因為③

由①②③組成方程組，解得，，

所以橢圓的方程為：．

（2）由（1）可知，

設直線的方程為，，，，，

聯立直線與橢圓的方程得，

得，則，

所以線段中點，，

所以，，

所以點的坐標為，，

將點坐標代入橢圓的方程，

解得，，

所以直線的方程為：或．