Question

【題目】如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF∥CD，AD⊥FC．點(diǎn)M在棱FC上，平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求證：AD∥MN；
（Ⅱ）求證：平面ADMN⊥平面CDEF；
（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以AD∥BC，

所以AD∥平面FBC．

又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN，

所以AD∥MN．

（Ⅱ）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以AD⊥CD．

因?yàn)锳D⊥FC，

所以AD⊥平面CDEF．

所以平面ADMN⊥平面CDEF．

（Ⅲ）解：因?yàn)镋A⊥CD，AD⊥CD，

所以CD⊥平面ADE，

所以CD⊥DE．

由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，

所以AD⊥DE．

所以DA，DC，DE兩兩互相垂直．

建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．

不妨設(shè)EF=ED=1，則CD=2，設(shè)AD=a（a＞0）．

由題意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1）．

所以 =（a，0，0）， =（0，﹣1，1）．

設(shè)平面FBC的法向量為 =（x，y，z），則

即 令z=1，則y=1．

所以 =（0，1，1）．

又平面ADE的法向量為 =（0，2，0），所以

= = ．

因?yàn)槎�面角A﹣l﹣B的平面角是銳角，

所以二面角A﹣l﹣B的大小45°

【解析】（Ⅰ）通過(guò)證明AD∥BC，推出AD∥平面FBC，然后證明平AD∥MN．（Ⅱ）證明AD⊥CD，結(jié)合AD⊥FC，說(shuō)明AD⊥平面CDEF，然后證明平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）說(shuō)明DA，DC，DE兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，不妨設(shè)EF=ED=1，求出相關(guān)的坐標(biāo)，求出平面FBC的法向量，平面ADE的法向量，通過(guò)向量的數(shù)量積求解二面角A﹣l﹣B的平面角的大小即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．