Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x+ （x＞0）都在x=x0處取得最小值．
（1）求f（x0）﹣g（x0）的值．
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），h（x）的極值點(diǎn)之和落在區(qū)間（k，k+1），k∈N，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，x＞0，

∴f′（x）=1+lnx，

令f′（x）=1+lnx=0，解得x= ，

當(dāng)x＞ 時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x= ，且f（ ）=﹣ ，

∵f（x）=xlnx，g（x）=x+ （x＞0）都在x=x0處取得最小值，

∴x0= ，

∵g（x）=x+ （x＞0），

∴g′（x）=1﹣ ，

∴g′（ ）=1﹣ =0，

解得a=e2，

∴g（x0）=g（ ）= + ，

∴f（x0）﹣g（x0）=﹣ + + =

（2）解：函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣x﹣ ，

∴h′（x）=1+lnx﹣1+ =lnx﹣ ，

設(shè)φ（x）=lnx﹣ ，

∴φ′（x）= + ＞0，

∴h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴h′（1）h（e）＜0，

∴h′（x）在（1，e）上存在唯一的零點(diǎn)，

∵h(yuǎn)（x）的極值點(diǎn)之和落在區(qū)間（k，k+1），

∴k=1

【解析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的極值點(diǎn)和極值，繼而求出a的值，再求出g（x）的極值，問題得以解決，（2）先求導(dǎo)得到h′（x）=lnx﹣ ，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．