(本小題滿分l4分)
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
  (2)求證:對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,都有
|f(x1)-f(x2)|≤4;
(3)若過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依題意,f′(1)=f′(-1)=0,
       解得a=1,b="0. " ∴f(x)=x3-3x.
(II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0,故f(x)在區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù),
fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
∵對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,
都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|
|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4
(III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),∵曲線方程為y=x3-3x,∴點(diǎn)A(1,m)不在曲線上.
設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足
,故切線的斜率為,
整理得.∵過(guò)點(diǎn)A(1,m)可作曲線的三條切線,
∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根.[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)]
設(shè)g(0)= ,則g′(x0)=6,由g′(x0)=0,得x0=0或x0­=1.
∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減.
∴函數(shù)g(x0)= 的極值點(diǎn)為x0=0,x0=1
∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是
,解得-3<m<-2.
故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3<m<-2.

解析

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù)
 (Ⅰ)若時(shí),函數(shù)在其定義域上是增函數(shù),求b的取值范圍;
 (Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)的最小值;
 (Ⅲ)設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于P、Q,過(guò)線段PQ的中點(diǎn)Rx軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N,問(wèn)是否存在點(diǎn)R,使C1在M處的切線與C2N處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù).
(I)判斷函數(shù)的奇偶性并證明;
(II)若,證明:函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分15分)已知函數(shù)上為增函數(shù),且,為常數(shù),.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若上為單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè),若在上至少存在一個(gè),使得成立,求的m取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-與x=1時(shí)都取得極值.
(1)求a、b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)xÎ〔-1,2〕,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=。
(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f’(x)m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若 恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)
(1)若的極值點(diǎn),求a的值;
(2)若時(shí),函數(shù)的圖象恒不在的圖象下方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題



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