如圖所示，矩形中，，，，且，交于點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行的判定和性質(zhì)以及三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力以及運(yùn)算能力.第一問(wèn)，由于為矩形，所以是中點(diǎn)，由于⊥平面，利用線面垂直的性質(zhì)，得，而在中，，，所以是中點(diǎn)，所以∥，利用線面平行的判定得∥平面；第二問(wèn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4a/5/hfjcj.png" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，所以⊥平面，利用線面垂直的性質(zhì)，所以垂直面內(nèi)的線，同理，⊥，利用線面垂直的判定，得⊥平面，所以利用第一問(wèn)的結(jié)論得面，在中求出的長(zhǎng)，在中求出的長(zhǎng)，從而求出的面積，用等體積轉(zhuǎn)化法求.
試題解析：(1)由題意可得是的中點(diǎn)，連結(jié)，
∵⊥平面，∴.而，∴是的中點(diǎn)，                    2分
在中，，∴∥平面.                               5分
(2)∵⊥平面，，∴⊥平面，則⊥.
又∵⊥平面，則⊥，又，∴⊥平面.       8分
∵∥.而⊥平面，∴⊥平面.∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，
∴∥且＝＝1.∴Rt△

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在正方體中，分別的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）已知是靠近的的四等分點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知四棱錐，面,∥,,，,,為上一點(diǎn),是平面與的交點(diǎn).

（1）求證：∥；
（2）求證：面；
（3）求與面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，且．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角是？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖1，已知的直徑，點(diǎn)、為上兩點(diǎn)，且，，為弧的中點(diǎn)．將沿直徑折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）在弧上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分別是BC、PE的中點(diǎn)．

(1)求證：AD⊥PE；
(2)求二面角E－AD－G的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等且交于點(diǎn).

（Ⅰ）求證：;
（Ⅱ）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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