【題目】已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.

（1）求概率的值；

（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題意，分別得出“從5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形”和“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率；

（2）先由題意得到的可能取值，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可得到分布列，求出期望.

解：（1）從5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，

共有種取法.其中的三角形如，

這類三角形共有個(gè).

因此.

（2）由題意，的可能取值為，2，.

其中的三角形是側(cè)面，這類三角形共有4個(gè)；

其中的三角形有兩個(gè)，和.

因此，.

所以隨機(jī)變量的概率分布列為：

2

所求數(shù)學(xué)期望

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一工廠對某條生產(chǎn)線加工零件所花費(fèi)時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表的數(shù)據(jù)：

零件數(shù)x（個(gè)）

10

20

30

40

50

加工時(shí)間y（分鐘）

62

68

75

82

88

（1）從加工時(shí)間的五組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選擇兩組數(shù)據(jù)，求該兩組數(shù)據(jù)中至少有一組數(shù)據(jù)小于加工時(shí)間的均值的概率；

（2）若加工時(shí)間與零件數(shù)具有相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的回歸直線方程；若需加工個(gè)零件，根據(jù)回歸直線預(yù)測其需要多長時(shí)間.

(，)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本題滿分12分）如圖， 是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)， 垂直于圓所在的平面，且．

（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；

（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；

（Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高，自2019年1月1日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額.依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：

個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整前）

個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整后）

免征額3500元

免征額5000元

級數(shù)

全月應(yīng)納稅所得額

稅率（%）

級數(shù)

全月應(yīng)納稅所得額

稅率（%）

1

不超過1500元部分

3

1

不超過3000元部分

3

2

超過1500元至4500元的部分

10

2

超過3000元至12000元的部分

10

3

超過4500元至9000元的部分

20

3

超過12000元至25000元的部分

20

...

...

...

...

...

...

（1）假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記表示總收入，表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

（2）某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：

收入（元）

人數(shù)

30

40

10

8

7

5

先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選2人作為新納稅法知識宣講員，求兩個(gè)宣講員不全是同一收入人群的概率；

（3）小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí)，請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計(jì)數(shù)的.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度；

（2）估計(jì)該公司投入4萬元廣告費(fèi)用之后，對應(yīng)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；

（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬元）

1

2

3

4

5

銷售收益y（單位：萬元）

1

3

4

7

表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請將（2）的結(jié)果填入上表的空白欄，并計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程.

回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中：

①若命題，，則，；

②將的圖象沿軸向右平移個(gè)單位，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)為；

③“”是“”的充分必要條件；

④已知為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓相交.

其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，圓N與圓M關(guān)于直線對稱.

（1）求圓N的方程.

（2）是否存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，使得被圓M截得的弦長與被圓N截得的弦長相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對于任意，是和的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，是的前項(xiàng)和，是否存在常數(shù)，對任意，使恒成立？若存在，求取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會影響第二段生產(chǎn)成品的等級，具體見下表：

第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)

或

或

第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率

0.2

0.4

0.6

第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率

0.3

0.3

0.3

第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率

0.5

0.3

0.1

從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件，得到頻率分布直方圖如圖：

若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、元、元.

（Ⅰ）以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo)，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；

（Ⅱ）將頻率估計(jì)為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤；

（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段，價(jià)格是萬元，使用壽命是年，安裝這種設(shè)備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請你幫該公司作出決策，是否要購買該設(shè)備？說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：，，）

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