【題目】定義:若數(shù)列中存在,其中,,,,及均為正整數(shù),且(),則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)若數(shù)列的前項和,求證:是“數(shù)列”;
(2)若是首項為1,公比為的等比數(shù)列,判斷是否是“數(shù)列”,說明理由;
(3)若是公差為()的等差數(shù)列且(),,求證:數(shù)列是“數(shù)列”.
【答案】(1)證明見解析;(2)是“數(shù)列”;(3)證明見解析.
【解析】
(1)取特殊值,即可判斷;
(2)利用反證法,設(shè)假設(shè)是“數(shù)列”,則存在,由絕對值不等式的性質(zhì)可得,即假設(shè)不成立,得證;
(3)由等差數(shù)列前項和公式及通項公式,分情況取特殊值即可.
解:(1)由數(shù)列的前項和,所以,所以是“數(shù)列”;
(2)不是“數(shù)列”,理由如下:假設(shè)是“數(shù)列”,則存在,其中且及均為正整數(shù),且(), 因為,則,
所以,
所以,與假設(shè)矛盾,即假設(shè)不成立;
(3)任取中的項,其各項的和構(gòu)成的集合為,
下面證明,
因為,所以,即,
若,則取,得,
若,則前項和為
取,有,即,
綜上:數(shù)列是“數(shù)列”.
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【題目】選修;坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知某圓的極坐標(biāo)方程為:.
(Ⅰ)將極坐標(biāo)方程化為普通方程;
(Ⅱ)若點P(x,y)在該圓上,求x+y的最大值和最小值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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【題目】魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙,外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱,從外表上看,六根等長的正四棱柱分成三組,經(jīng)榫卯起來,如圖,若正四棱柱的高為,底面正方形的邊長為,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi),則該球形容器的表面積的最小值為( )(容器壁的厚度忽略不計)
A.B.C.D.
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【題目】給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點,半徑為的圓是橢圓的“伴橢圓”,若橢圓右焦點坐標(biāo)為,且過點.
(1)求橢圓的“伴橢圓”方程;
(2)在橢圓的“伴橢圓”上取一點,過該點作橢圓的兩條切線、,證明:兩線垂直;
(3)在雙曲線上找一點作橢圓的兩條切線,分別交于切點、使得,求滿足條件的所有點的坐標(biāo).
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【題目】十九世紀(jì)末:法國學(xué)者貝特朗在研究幾何概型時提出了“貝特朗悖論”,即“在一個圓內(nèi)任意選一條弦,這條弦的弦長長于這個圓的內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少?”貝特朗用“隨機半徑”“隨機端點”“隨機中點”三個合理的求解方法,但結(jié)果都不相同.該悖論的矛頭直擊概率概念本身,強烈地刺激了概率論基礎(chǔ)的嚴(yán)格化.已知“隨機端點”的方法如下:設(shè)為圓上一個定點,在圓周上隨機取一點,連接,所得弦長大于圓的內(nèi)接等邊三角形邊長的概率.則由“隨機端點”求法所求得的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山,從山的側(cè)面進行勘測,迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成,其中所在的拋物線以為頂點、開口向下,所在的拋物線以為頂點、開口向上,以過山腳(點)的水平線為軸,過山頂(點)的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(單位:百米).已知所在拋物線的解析式,所在拋物線的解析式為
(1)求值,并寫出山坡線的函數(shù)解析式;
(2)在山坡上的700米高度(點)處恰好有一小塊平地,可以用來建造索道站,索道的起點選擇在山腳水平線上的點處,(米),假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時,索道的懸空高度有最大值,試求索道的最大懸空高度;
(3)為了便于旅游觀景,擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺階,臺階每級的高度為20厘米,長度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每級臺階的兩端點在坡面上(見圖).試求出前三級臺階的長度(精確到厘米),并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳,簡述理由?
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【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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